Exercice 1 

On considère l’équation $(E) : (m + 1)x^{2} + 2mx + m − 5 = 0$.

1) Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, l’existence et le signe des racines de $(E)$.

2) Déterminer m pour que $(E)$ ait deux racines $x^{'}$ et $x^{''}$ vérifiant $−1 < x^{'} < 1 < x^{''}$.

3) Trouver une relation indépendante de $m$ entre les racines de $(E)$.

4) Former l’équation du second degré ayant pour racines $(3x^{'} − 2)$ et $(3x^{''} − 2)$.

EXERCICE 1 : 

Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes

a) $f(x) = \sqrt{\dfrac{\sqrt{x + 3 }− 2}{x − 1}}$

b)$f(x) =\sqrt{x-2-\sqrt{x^{2}+3x+1}}$

c)$f(x) =\dfrac{\sqrt{3x^{2} + 1} + 5x}{3x − 1}$

d)$f(x) =\dfrac{\sqrt{3x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2}+x}}-\sqrt{x^{2}+1}} e)f(x) $

EXERCICE 2 :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

EXERCICE 1 : 

On considère une application $$f : \begin{array}{rcl}
[4 ; +\infty[→ ℝ^{+}\\
x ⟼ x(\sqrt{x − 2})^{2}.
\end{array}.$$

1) Montrer que $∀ x; y \in [4; +∞[, f(x) = f(y) ⇒ (\sqrt{x }− 1)^{2} = (\sqrt{y} − 1)^{2}$.

2) Démontrer que $f$ est injective.

3) Démontrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque. 

Exercice 1 

Soit $p$ et $q$ sont deux fonctions définis pour tout réel $x$ non nul par :

$p(x) = x^{6} − 5x^{5} + 4x^{4} − 3x^{3} + 4x^{2} − 5x + 1$

$q(x) = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}
+ 5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2} +\left(x+\dfrac{1}{x}\right) + 7$

1. Montrer que $\dfrac{q(x)}{p(x)}=\dfrac{1}{x^{3}}$ .

2. Montrer que les équations $p(x) = 0$ et $q(x) = 0$ sont équivalentes et déterminer leurs solutions communes 

Exercice 1 

Soit $p(x)= ax^{2}+ bx^{3}+cx^{3}+bx+ a$ avec $a b$ et $c$ trois réels non nuls.

1) Montrer que $0$ n’est pas racine de . $P(x)$. 

2) Montrer que si $\alpha$ est racine alors $\dfrac{1}{\alpha}$ l’est aussi. 

3) Soit $x\ne 0$ on pose $y= x+\dfrac{1}{x}$.

a) Exprimer $y^{2}$ en fonction de $x$ et en déduire
$\dfrac{p(x)}{x^{2}}$ en fonction de $a,b,c,, y$ et $y^{2}$. 

Exercice 1

1. Soit l'équation $(E)$ : $(m+1)x^{2}+2(m-3)x+m+3=0$

a. Discuter suivant les valeurs de $m$ de nombre de solutions de l'équation $(E)$

b. Dans le cas où $(E)$ admet deux solutions distinctes, déterminer leur signes selon les valeurs de $m$

c. Dans le cas où les racines distinctes existent et sont notées $x_{1}$ et $x_{2}$, trouver une relation indépendante de $m$ qui les lie

Exercice 1

composé comprenant du carbone, de l'hydrogène, de l'oxygène et de l'azote a donné les résultats suivants :

$-\ $On oxyde $0.252\,g$du corps à analyser et l'on a obtenu $0.185\,g$ de gaz carbonique et $0.151\,g$ de vapeur d'eau.

$-\ $On a employé $0.368\,g$ du composé et l'azote qui y était contenu a été transformé en gaz ammoniac $NH_{3}$ qu'on dose par une solution d'acide chlorhydrique molaire. 

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}\sqrt{x^{2}+2x-3}\leq 2x+1$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ suivant les valeurs de $m$ : $\left(m^{2}-1\right)\left(-2x^{2}+3x-1\right)< 0$

Exercice 2

1. Soit $P(x)=(x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1$ ; $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ et $H(x)=2x^{3}+3x^{2}+x$

a. Factoriser $H(x)$

b. En déduire que $P(x)$ est divisible par $H(x)$