Exercice 1 :

On considère la fonction numérique définie par : $f(x) = \dfrac{\sin x − \cos x}{\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x}$

1. (a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation :$\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x = 0 $

(b) Déduire $D_{f} $

2. Montrer que pour tout $x \in D_{f} , f(x) = \dfrac{\tan x − 1}{2\sin x −\sqrt{2}}$

(a) Résoudre dans $[0; 2\pi]$ l’équation $f(x) = 0$ 

EXERCICE 1 : limite au voisinage de l’infini

Considérons la fonction définie par $f(n) Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})$.

PARTIE A

L’objectif de cette partie est de montrer que$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty}  f(n)=\dfrac{1}{2}$.

1. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1 )(k+1 )}{k\times k}$.

2. Montrer que $Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.

Exercice 1

Soit $P$ le polynôme de degré $3$ dont la somme des coefficients est $-24$ tel que divisé par $x^{2}+x+1$ donne $59x-47$ comme reste et est divisible par $x-5$ 

1.Expliquer pourquoi $P(x)=\left(x^{2}+x+1\right)(ax+b)+59x-47$ avec $a$ et $b$ deux réels 

2. Montrer que $P(x)=x^{3}-12x^{2}+47x-60$

3. En déduire la résolution de l'équation $\sqrt{x^{3}-8^{2}+15x+4}=2x-8$

Exercice 1

1. Soit le polynôme $P(x)=x^{3}+px^{2}+qx+r$ admettant trois racines $a$, $b$, et $c$ toutes différentes de $I$, où $p$ ; $r$ sont des réels.

Exprimer le réel $N=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-b}+\dfrac{1}{1-c}$ en fonction de $p$ ; $q$ et $r$

2. Soit $Q(x)$ un polynôme divisible par $(x+1)$ et par $(x-2)$ et dont le reste de la division euclidienne par $(x-1)$ est $-2$