Chapitre 1 : Révisions de trigonométrie - TS2

Théorème ( Rappels fondamentaux )

$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

$co\tan x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

$1+\tan^{2} x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$

$1+co\tan^{2}x=\dfrac{1}{\sin^{2}x}$

$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x_sin y$

$\cos(x-y)=\cos x\cos y+_sin x\sin y$

$\sin(x-y)=\sin x_cos y-\cos x\sin y$

$\cos 2x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2} x$

$\sin 2x=2\sin x\cos x$

$\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-_tan^{2}x}$

$_sin x=\sin \alpha\Longleftrightarrow x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha +2k\pi$
$\cos x=\cos\alpha\Longleftrightarrow x=\neq \alpha +2k\pi$

$\tan x=\tan a\Longleftrightarrow x=\alpha +k\pi$

Tableau de variation sur $[0\ ;\ 2\pi]$ : On rappellera, à titre de révision, l'allure des variations de $f(xàà=_sin x$, $g(x)=\cos x$, $h(x)=\tan x$ et $i(x)=co\tan x$ sur cet intervalle (croissances et décroissances successives, valeurs remarquables aux multiples de $\dfrac{\pi}{2}$)

Équation trigonométriques

Exercice 1

Résoudre dans l'intervalle $]-\pi\ ;\ \pi]$ les équations trigonométriques suivantes :

1. $\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$

2. $\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

3. $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

4. $\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

5. $\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$

6. $\tan\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{3}$

7. $\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

8. $\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

9. $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)$

10. $\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)$

11. $\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)$

12. $\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)$

Exercice 2

Résoudre dans l'intervalle $]-\pi\ ;\ \pi]$ les équations suivantes :

1. $4\cos x-1=0$

2. $4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-3=0$

3. $2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)-1=0$

4. $2\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos 2x=0$

5. $\tan\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)-1=0$

6. $\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\sqrt{3}=0$

7. $\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan 2x$

8. $\tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

3. Résoudre dans l'intervalle $[0\ ;\ 2\pi[$ les équations suivantes :

1. $2\cos x+\left(\sqrt{3}+2\right)\cos x+\sqrt{3}=0$

2. $\cos 2x=3\cos x-2$

3. $1+\cos 2x+\cos 4x=0$

4. $2\cos x+\cos 3x+\cos 5x=0$

5. $\cos x-\cos 3x+\cos 5x=0$

5. $4\sin x+2\left(1+\sqrt{3}\right)\sin+\sqrt{3}=0$

6. $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$

7. $\sin 2x+\sin 4x=0$

8. $\cos x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin x\cos x-\sin^{2} x=0$

9. $\sin^{6}x+\cos^{6}x=\dfrac{1}{4}$

10. $\sqrt{3}\tan x+\left(1+\sqrt{3}\right)\tan x+1=0$

11. $\tan x+\left(\sqrt{3}-1\right)\tan x-\sqrt{3}=0$

Exercice 4

Calculer $\sin x$ et $\tan x$ dans chacun des cas suivants :

1. $\cos x=-\dfrac{3}{5}$ et $x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right[$

2. $\cos x=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ et $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ 0\right[$

3. $\cos x=-\dfrac{12}{13}$ et $x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right[$

Exercice 5

1. $\tan x=-2$ et $x\in\left]0\ ;\ \pi\right[$

2. $\tan x=\dfrac{11}{60}$ et $x\in\left]\pi\ ;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$

3. $\tan x=-\dfrac{8}{15}$ et $x\in\left]\dfrac{3\pi}{2}\ ;\ 2\pi\right[$

Exercice 6

Calculer $\cos x$ et $\tan x$ dans chacun des cas suivants :

1. $\sin x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ et $x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right[$

2. $\sin x=-0.8$ et $x\in\left]\pi\ ;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$

3. $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ et $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ 0\right[$

Exercice 7

On considère le réel $x$ tel que : $\tan x=\sqrt{3}-2$ et $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ 0\right[$

Calculer $\tan 2x$ et en déduire le réel $x$

Exercice 8

On considère le réel $x$ tel que : $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ et $x\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$

Calculer $\cos 2x$ et en déduire le réel $x$