Chapitre 2 : Factorisation des polynômes et étude du signe

2.1 Objectifs et pré requis

Objectifs. 

À la fin du chapitre, l'élève sait :

$\bullet\ $effectuer la division euclidienne d'un polynôme $P$ par un polynôme $Q$

$\left(\deg P\geq Q\;,\deg P\leq 4\right)$

$\bullet\ $diviser $P(x)$ par $(x-a)$ lorsque $P(a)=0$, puis le quotient par $(x-b)$ lorsque $P(b)=0$ ;

$\bullet\ $utiliser la méthode de Hörner ;

$\bullet\ $factoriser un polynôme de degré inférieur ou égal à $4$ ;

$\bullet\ $étudier le signe d'un polynôme et d'une fonction rationnelle, et résoudre des inéquations.
Prérequis. 

Identités remarquables, factorisation par un facteur commun, trinôme du second degré ( (discriminant, racines, signe), signe de $ax+b$ tableaux de signes

2.2 Cours

2.2.1 Généralités sur les polynômes

Définition

Un polynôme de la variable $x$ est une expression de la forme
$$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0}$$

où $n\in \mathbb{N}$ et $a_{0}\;,a_{1}\;,\ldots\;,a_{n}$ , an sont des réels appelés coefficients. 

Si an $a_{n}\neq 0$, l'entier $n$ est le degré de $P$, noté $\deg p\left(\text{ ou }d^{\circ}P\right)$ 

Un polynôme à un terme est un monôme, à deux termes un binôme, à trois termes un trinôme.

Définition

Un réel $a$ est une racine (ou un zéro) du polynôme $P$ si $P(a)=0$

Propriété (égalité de deux polynômes)

Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont le même degré et les mêmes coefficients, terme à terme. 

Cette propriété est à la base de la méthode
d'identification des coefficients.

2.2.2 Rappels sur le trinôme du second degré

Soit $T(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $\alpha\neq 0$ et $\Delta=b^{2}-4ac$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline\text{Cas}&\text{Racines et factorisation }&\text{Signe de }T(x)\\
\hline \Delta >0&x_{1.2}=\dfrac{-b\neq\sqrt{\Delta}}{2a}&\text{signe de }a\text{à l'extérieur des}\\
&T(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)&\text{racines,igne de }\\ &&-a\text{entre les racines }\\
\hline \Delta=0&x_{0}=-\dfrac{b}{2a}\ ; &\text{signe de }a\text{sauf en }\\ &T(x)=a\left(x-x_{0}\right)^{2}&\text{ en }x_{0}\text{où }t\text{s'annule }\\ \hline \Delta< 0&\text{aucune racine ; pas de }&\text{signe de }a\text{pour tout }x\\ &&\text{factorisation dans }\mathbb{R}&\\
\hline \end{array}$

La somme et le produit des racines (lorsqu'elles existent) valent $S=-\dfrac{b}{a}$ et $P=\dfrac{c}{a}$