Chapitre 2 : Factorisation des polynômes et étude du signe - Tl

2.1 Objectifs et pré requis

Objectifs. 

À la fin du chapitre, l'élève sait :

$\bullet\ $effectuer la division euclidienne d'un polynôme $P$ par un polynôme $Q$

$\left(\deg P\geq Q\;,\deg P\leq 4\right)$

$\bullet\ $diviser $P(x)$ par $(x-a)$ lorsque $P(a)=0$, puis le quotient par $(x-b)$ lorsque $P(b)=0$ ;

$\bullet\ $utiliser la méthode de Hörner ;

$\bullet\ $factoriser un polynôme de degré inférieur ou égal à $4$ ;

$\bullet\ $étudier le signe d'un polynôme et d'une fonction rationnelle, et résoudre des inéquations.
Prérequis. 

Identités remarquables, factorisation par un facteur commun, trinôme du second degré ( (discriminant, racines, signe), signe de $ax+b$ tableaux de signes

2.2 Cours

2.2.1 Généralités sur les polynômes

Définition

Un polynôme de la variable $x$ est une expression de la forme
$$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0}$$

où $n\in \mathbb{N}$ et $a_{0}\;,a_{1}\;,\ldots\;,a_{n}$ , an sont des réels appelés coefficients. 

Si an $a_{n}\neq 0$, l'entier $n$ est le degré de $P$, noté $\deg p\left(\text{ ou }d^{\circ}P\right)$ 

Un polynôme à un terme est un monôme, à deux termes un binôme, à trois termes un trinôme.

Définition

Un réel $a$ est une racine (ou un zéro) du polynôme $P$ si $P(a)=0$

Propriété (égalité de deux polynômes)

Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont le même degré et les mêmes coefficients, terme à terme. 

Cette propriété est à la base de la méthode
d'identification des coefficients.

2.2.2 Rappels sur le trinôme du second degré

Soit $T(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $\alpha\neq 0$ et $\Delta=b^{2}-4ac$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline\text{Cas}&\text{Racines et factorisation }&\text{Signe de }T(x)\\
\hline \Delta >0&x_{1.2}=\dfrac{-b\neq\sqrt{\Delta}}{2a}&\text{signe de }a\text{à l'extérieur des}\\
&T(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)&\text{racines,igne de }\\ &&-a\text{entre les racines }\\
\hline \Delta=0&x_{0}=-\dfrac{b}{2a}\ ; &\text{signe de }a\text{sauf en }\\ &T(x)=a\left(x-x_{0}\right)^{2}&\text{ en }x_{0}\text{où }t\text{s'annule }\\ \hline \Delta< 0&\text{aucune racine ; pas de }&\text{signe de }a\text{pour tout }x\\ &&\text{factorisation dans }\mathbb{R}&\\
\hline \end{array}$

La somme et le produit des racines (lorsqu'elles existent) valent $S=-\dfrac{b}{a}$ et $P=\dfrac{c}{a}$

2.2.3 Division euclidienne

Théorème (admis)

Soit $A$ et $B$ deux polynômes, $B$ non nul

Il existe un unique couple de polynômes $(Q\;,R)$ tel que$$A=BQ+R\text{ avec } \deg \mathbb{ R}< \deg B $$

$Q$ est le quotient et $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$

Si $R=0$, on dit que $A$ est divisible par $B$

Méthode : effectuer une division euclidienne 

On divise le terme de plus haut degré de $A$ par celui de $B$ : cela donne le premier terme du quotient. 

On le multiplie par $B$, on soustrait le résultat à $A$, puis on recommence avec le polynôme obtenu, jusqu'à ce que son degré soit strictement inférieur à $\deg$

B$

2.2.4 Division par $(x-a)$

Le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-a)$ est le réel $P(a)$

Démonstration. Le reste $\mathbb{R}$ est de degré strictement inférieur à $1$ : c'est une
constante $r$

Ainsi $P(x)=(x-a)Q(x)+r\text{ pour tout réel }x$

En posant $x=a$, on obtient $P(a)=0\times Q(x)+r\;,\text{ donc }r=P(a)$

Propriété (racine et divisibilité)

Un réel a est racine de $P$ si et seulement si $P$ est divisible par $(x-a)$, c'est-à-dire
s'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-a)Q(x)$

Démonstration. D'après le théorème précédent, le reste est $P(a)$

Il est nul si et seulement si $P(a)=0$

Propriété (deux racines distinctes)

Si $a\neq b$ sont deux racines de $P$, alors $P(x)=(x-a)(x-b)Q_{1}(x)$ pour un certain polynôme $Q_{1}$

Démonstration. Comme $P(a)=0$, on écrit $P(x)=(x-a)(x-b)(x)$

Alors $P(b)=(b-a)Q(b)=0$ et $b=a\neq 0$, donc $Q(b)=0$

Ainsi $Q(x)=(x-b)Q_{1}(x)$ et $P(x)=(x-a)(x-b)Q_{1}(x)$

2.2.5 Méthode de Hörner

La méthode de Hörner donne rapidement le quotient et le reste de la division de 
$$P(x)a_{n}x^{n}+\ldots+a_{1}x+a_{0}$ par $(x-a)$$ 

On construit le tableau suivant

$\begin{array}{c|cccccc} &a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_{1}&a_{0}\\a&&ab_{n-1}&ab_{n-2}&\ldots&b_{1}&ab_{0}\\
\hline &b_{n-1}&b_{n-2}&b_{n-3}&\ldots&b_{0}&r\\ \end{array}$

avec $b_{n-1}=a_{n}$, puis chaque case de la dernière ligne est la somme des deux cases
au-dessus d'elle. 

Le quotient est $Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_{1}x+b_{0}$ et le reste est $r=P(a)$

Remarque

Si un coefficient est nul, il faut quand même l'écrire (avec la valeur 0) dans la
première ligne. 

Le dernier nombre du tableau est P(a) : si $r=P(a)$, a est une racine.

2.2.6 Factorisation d'un polynôme

Méthode : factoriser un polynôme de degré $\leq 4$

1. Chercher un facteur commun ou une identité remarquable :

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)$

2. Essayer un regroupement de termes.

3. Chercher une racine évidente $a\left(\text{ on teste }0.1.-1.2.-2.\ldots\right)$, en vérifiant $P(a)=0$

4. Diviser par $(x-a)$ (Hörner, division euclidienne ou identification des coefficients) : $P(x)=(x-a)Q(x)$

5. Recommencer avec $Q$ (autre racine évidente, ou discriminant si $\deg Q=2$

2.2.7 Étude du signe

Propriété $\text{(signe de }ax+b$

Pour $a\neq 0\;,ax+b$ s'annule en $x=-\dfrac{b}{a}$, a le signe de $a$ pour $a$ pour $x> -\dfrac{b}{a}$ et le signe opposé pour $x< -\dfrac{b}{a}$

Méthode : étudier le signe d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs du premier degré et en trinômes de signe connu.

2. Placer dans un tableau, dans l'ordre croissant, toutes les valeurs qui annulent
un facteur.

3. Remplir une ligne par facteur, puis appliquer la règle des signes pour la
dernière ligne.

4. Pour une fraction, mettre une double barre $k$ sous les valeurs qui annulent le
dénominateur (valeurs interdites).

5. Lire l'ensemble des solutions de l'inéquation, en excluant toujours les valeurs
interdites.

2.3 Exemples corrigés

Exemple 1. Division euclidienne. Effectuer la division de $A(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x-1$ par $B(x)=x^{2}-x+1$

On procède terme à terme :

$2x^{3}-3x^{2}4x-1=2x\left(x^{2}-x+1\right)+\left(-x^{2}+2x-1\right)2x\left(x^{2}-x+1\right)-1\left(x^{2}-x+1\right)+x$

Donc $A(x)=\left(x^{2}-x+1\right)(2x-1)+x$ avec $\deq x1< 2$

Quotient $Q(x)=2x-1$, reste $R(x)=x$

Exemple 2. Reste et Hörner. 

Soit $P(x)=x^{3}-4x^{2}+x-6$

Diviser $P$ par $(x-3)$

$\begin{array}{c|cccc} &1&-4&1&-6\\ 3&&3&-3&-6\\ \hline &1&-1&-2&-12 \end{array}$

Donc $P(x)=(x-3)\left(x^{2}-x-2\right)-12$

Le reste est $P(3)=-12$ : $3$ n'est pas racine de $P$

Exemple 3. Factorisation avec une racine évidente. 

Factoriser $P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$

On a $P(1)=1-6+11-6=0$, donc $1$ est racine

Hörner avec $a=1$ :

$\begin{array}{c|cccc} &1&-6&11&-6\\ 1&&1&-5&6\\ \hline &1&-555&6&6&0 \end{array}$

Ainsi $P(x)=(x-1)\left(x^{2}555x+6\right)$

Pour $x^{2}-5x+6\ :\ \Delta=25-24=1$

Racines $\dfrac{5-1}{2}=2$ et $\dfrac{5+1}{2}=3$

Donc 
$$\boxed{P(x)=(x-1)(x-2)(x3)}$$

Exemple 4

Polynôme de degré $4$ avec deux racines évidentes

Factoriser $P(x)=x^{4}+x^{3}-7x^{2}-x+6$

On a $P(1)=1+1-7-1+6=0$ et $P(-1)=1-1-7+1+6=0$

Hörner avec $a=1$, puis avec $b=-1$ sur le quotient : 

$\begin{array}{c|ccccc} &1&1&-7&-1&6\\ 1&&1&2&-55&-6\\ \hline &1&2&-5&-6&0\\ \end{array}$

$\begin{array}{c|cccc} &1&2&-5&-6\\ -1&&-1&-1&6\\ &1&1&-6&0 \end{array}$

Donc $P(x)=(x-1)(x+1)\left(x^{2}+x-6\right)$

Pour $x^{2}+x-6\ :\ \Delta=1+24=25$, racines $2$ et $-3$

Pour $x^{2}+x-6\ :\ \Delta=1+24=25$, racines $2$ et $-3$

Ainsi$$\boxed{P(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+3)}$$

Exemple 5 Identification des coefficients.

Factoriser $P(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6$

sachant que $P(3)=0$

Comme $P(3)-54-27-33+6=0$, on cherche $a$, $b$, $c$ tels que $P(x)=(x-3)\left(ax^{2}+bx+c\right)$

En développant :
$$(x-3)\left(ax^{2}+bx+c\right)=ax^{3}+(b-3a)x^{2}+(c-3b)x-3c$$

On identifie : $a=2$ ; $b-3a=-3$ donc $b=3$ ; $c-3b=-11$ donc $c=-2$ ; et $-3c=6$ est bien vérifié

Donc $P(x)=(x-3)\left(2x^{2}+3x-2\right)$

Pour $2x^{2}+3x-2$ : $\Delta=9+16=25$, racines $\dfrac{-3-5}{4}=-2$ et $\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac{1}{2}$ Ainsi
$$\boxed{P(x)=(x-3)(2x-1)(x+2)}$$

Exemple 6

Signe d'un polynôme

Étudier le signe de$$P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$ et résoudre $P(x)\geq 0$
$$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x&-\infty&&1&&2&&3&&+\infty\\ \hline x-1&&-&0&+&&+&&+&\\
\hline x-2&&-&&-&0&+&&+&\\ \hline x-3&&-&&-&&-&0&+&\\\hline p(x)&&-&0&+&0&-&0&+&\\ \hline \end{array}$$

$\boxed{S=[1\ ;\ 2]\cup[3\ ;\ +\infty]}$  (les racines sont incluses car l'inégalité est large).

Exemple 7.

Factorisation par regroupement et inéquation. 

Résoudre $x^{3}-x^{2}-4x+4\geq 0$ $$x^{3}-x^{2}-4x+4=x^{2}(x-1)-4(x-1)=(x-1)\left(x^{2}-4\right)=(x-1)(x-2)(x+2)$ $$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x&-\infty&&-2&&1&&2&&+\infty\\ x+2&&-&0&+&&+&&+&\\ \hline
x-1&&-&&-&0&+&&+&\\ \hline x-2&&-&&-&&-&0&+&\\ \hline \text{produit }&&-&0&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}$$

$\boxed{S=[-2\ ;\ 1]\cup[2\ ;\ +\infty[}$

Exemple 8. 

Signe d'une fraction rationnelle. 

Résoudre $\dfrac{x^{2}-x-6}{x^{2}-1}\geq 0$

Numérateur : $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ dénomination : $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$

Valeur interdites : $-1$ et $1$
$$\begin{array}{|c|ccccccccccc} \hline x&-\infty&&-2&&-1&&1&&3&&+\infty\\ \hline x+2&&-&0&+&&+&&+&&+&\\
\hline x-3&&-&&-&&-&&-&0&+&\\ \hline x+1&&-&&-&0&+&&+&&+&\\ \hline x-1&&-&&-&&-&0&+&&+&\\ \hline
\text{Fraction }&&+&0&-&\parallel&+&\parallel&-&0&+&\\ \hline \end{array}$$

$\boxed{S=]-\infty\ ;\ -2]\cup]-1\ ;\ 1[\cup[3\ ;\ +\infty[}$

les zéros $-2$ et $3$ du numérateur sont inclus, les valeurs interdites $-1$ et $1$ sont exclues.

2.4 $QCM$ $(20\text{ questions, une seule réponse exacte)}$

Q1 Le degré du polynôme $P(x)=3x^{4}-2x^{2}-2x^{2}+x-7$ est 

A. $3$

B. $4$

C. $2$

D. $7$

Q2 Parmi les réels suivants, lequel est racine de $P(x)=x^{3}-3x+2x$ ?

A. $-1$

B. $0$

C. $1$

D. $2$

Q3 Le reste de la division de $x^{3}+2x-5$ par $(x-2)$ est :

A. $7$

B. $-5$

C. $3$

D. $11$

Q4 Le quotient de la division de $x^{2}-55x+6$ par $(x-2)$ est :

A. $x+3$

B. $x-2$

C. $x+2$

D. $x-3$

Q5. Un polynôme $P$ est divisible par $(x+1)$ si et seulement si :

A. $P(1)=0$

B. $P(-1)=0$

C. $P(0)=-1$

D. $P(-1)=1$

Q6 La factorisation de $x^{2}-5x+6$ est :

A. $(x+2)(x+3)$

B. $(x-1)(x-6)$

C. $(x+1)(x-6)$

D. $(x-2)(x-3)$

Q7 Le quotient de la division de $2x^{3}-55x^{2}+x+3$ par $(x-1)$ est :

A. $2x^{2}-3x-2$

B. $2x^{2}-5x+1$

C. $2x^{2}+3x-2$

D. $2x^{2}-3x+2$

Q8 Les racines de $2x^{2}+x-1$ sont :

A. $\dfrac{1}{2}$ et $1$

B. $-\dfrac{1}{2}$ et $1$

C. $1$ et $\dfrac{1}{2}$

D. $\dfrac{1}{2}$ et $1$

Q9 L'ensemble des solutions de $-2x+6\geq 0$ est :

A. $\theta$

B. $\mathbb{R}$

C. $\left\lbrace 2\right\rbrace$

D. $]2\ ;\ +\infty[$

Q11 L'ensemble des solutions de $\dfrac{x-1}{x+2}\leq 0$ est :

A. $]-2\ ;\ 1]$

B. $[-2\ ;\ 1]$

C. $]-\infty\ ;\ -25[\cup[1\ ;\ +\infty[$

D. $]-2\ ;\ 1[$

Q12. Si $a\neq b$ sont deux racines d'un polynôme $l'$, alors divisible par :

A. $(x-a)+(x-b)$

B. $x-a-b$

C. $(x-a)(x-b)$

S. $x^{2}-ab$

Q13 la facturation de $x^{3}-x$ est :

A.$x(x-1)^{2}$

B. $(x-1)\left(x^{2}+1\right)$

C. $x\left(x^{2}+1\right)$

D. $x(x-1)(x+1)$

Q14  Le reste de la division euclidienne de $x^{3}-1$ par $x^{2}+1$ est :

A. $-x-1$

B. $x-1$

C. $-1$

D. $x+1$

Q15 L'ensemble des racines de $x^{3}-7x+6$ est :

A. $\left\lbrace 1\ ;\ 2\ ;\ 3\right\rbrace$

B. $\left\lbrace -1\ ;\ -2\ ;\ 3\right\rbrace$

C. $\left\lbrace 1\ ;\ 2\ ;\ -3\right\rbrace$

D. $\left\lbrace -1\ ;\ 2\ ;\ 3\right\rbrace$

Q16 L'ensemble des solutions de $(x-1)(x+3)\geq 0$ est :

A. $[-3\ ;\ 1]$

B. $]-\infty\ ;\ -3]\cup[1\ ;\ +\infty[$

C. $]-\infty\ ;\ -3[\cup]1\ ;\ +\infty[$

D. $[1\ ;\ +\infty[$

Q17. Le polynôme $x^{2}+x+1$ :

A. est négatif pour tout réel $x$

B. change de signe sur $\mathbb{R}$

C. s'annule en $x=1$ 

D. est strictement positif pour tout réel $x$

Q18. La fraction $\dfrac{x+1}{x^{2}-4}$ est définie si et seulement si :

A. $x\neq \left\lbrace -2\ ;\ 2\right\rbrace$

B. $x\neq 2$

C. $x\neq -1$

D. $x\neq \left\lbrace -1\ ;\ 2\right\rbrace$

Q19 L'ensemble des solutions de $\dfrac{(x+1)(x-2)}{x-3}\geq 0$ est :

A. $[-1\ ;\ 2]\cup [3\ ;\ +\infty]$

B. $[-1\ ;\ 2]\cup]3\ ;\ +\infty[$

C. $]-\infty\ ;\ -1]\cup[2\ ;\ 3]$

D. $]-1\ ;\ 2[\cup[3\ ;\ +\infty[$

Q20. Pour quelle valeur de a le polynôme $P(x)=x^{3}+ax^{2}-x+2$ est-il divisible par $(x-1)$ ?

A. $2$

B. $0$

C. $-2$

D. $-1$

2.5 Exercices 

A. Division euclidienne

Exercice 1

Effectuer les divisions euclidiennes suivantes (quotient et reste) :

a. $A(x)=x^{3}-2x^{2}+3x-4$ par $B(x)=x-2$ ; 

b. $A(x)=2x^{3}+x^{2}-5x+1$ par $B(x)=x+1$ ; 

c. $A(x)=x^{4}-3x^{2}+2x-1$ par $B(x)=x-1$

Exercice 2

Effectuer les divisions euclidiennes suivantes

a. $A(x)=x^{3}+2x^{2}-3x+5$ par $B(x)=x^{2}+x-1$

b. $A=2x^{4}-x^{3}+2x^{2}-x+2$ par $B(x)=x^{2}-x+1$

Que remarque-t-on ?

Exercice 3

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(x)=x^{3}+ax+b$ soit divisible par $x^{2}-x-2$

(On pourra remarquer que $x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$

Factoriser ensuite $P(x)$

Exercice 4

Écrire $A(x)=4x^{3}-3x+7$ sous la forme $B(x)Q(x)+R(x)$ avec $B(x)=2x-1$

Vérifier que $R=A\left(\dfrac{1}{2}\right)$

Exercice 5

Sans effectuer de division, déterminer le reste de la division de $P(x)=x^{4}-3x^{2}+x-2$ par $(x-1)$, par $(x+2)$

puis par $(x-3)$

pour quelle division $P$ est-il divisible ?

Exercice 6

Déterminer le réel $m$ pour que  $P(x)=x^{3}-mx^{2}+2x+4$ soit divisible par $(x-2)$

Exercice 7

Soit $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx-6$

1. Déterminer $a$ et $b$ sachant que $1$ et $2$ sont racines de $P$

2. Factoriser alors $P(x)$ et résoudre $P(x)=0$

Exercice 8

Effectuer la division euclidienne de $x^{4}-1$ par $x^{2}+1$

En déduire la factorisation de $x^{4}-1$ en trois facteurs.

B. Méthode de Hörner et racines

Exercice 9

Soit $P(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$

1. Vérifier que $2$ est racine de $P$

2. À l'aide du tableau de Hörner, factoriser $P(x)$

3. Résoudre $P(x)=0$

Exercice 10

Soit $P(x)=2x^{3}+3x^{2}-8x+3$

1. Montrer que $1$ est racine de $P$

2. Factoriser $P(x)$ (Hörner, puis discriminant).

Exercice 11

Soit $p(x)=x^{4}-2x^{3}-7x^{2}+8x+12$

1. Calculer $P(-1)$ et $P(2)$

2. Utiliser deux fois la méthode de Hörner pour écrire $P(x)=(x+1)(x-2)Q(x)$ avec $Q$ à préciser.

3. Factoriser complètement $P(x)$ et résoudre $P(x)=0$

Exercice 12

Soit $P(x)=x^{4}-3x^{3}+2x-5$

Calculer $P(2)$ à l'aide du tableau de Hörner (sans oublier le coefficient nul de $x^{2}$, puis calculer $P(-1)$ par la même méthode

Exercice 13

Soit $P(x)=x^{3}-x^{2}+4$

1. Vérifier que $-1$ est racine de $P$

2. Factoriser $P(x)$ ; mettre en évidence une racine double.

3. Résoudre $P(x)=0$

Exercice 14

Soit $P(x)=x^{4}-x^{3}-3x^{2}+x+2$

Vérifier que $1$ et $2$ sont racines, puis
factoriser $P(x)$ sous la forme $(x-1)(x-2)(x+1)^{2}$ en justifiant

C. Factorisation

Exercice 15

Factoriser :

a. $4x^{2}-9$ ; 

b. $x^{3}-4x$ ;

c. $(2x+1)^{2}-(x-3)^{2}$

d. $x^{3}-8$

Exercice 16

Factoriser par regroupement :

a. $x^{3}-2x^{2}-x+2$ ; 

b. $2x^{3}+x^{2}-8x-4$

Exercice 17

Factoriser, lorsque c'est possible dans $\mathbb{R}$ :

a. $x^{2}-7x+10$ ; 

b. $2x^{2}+x-3$ ; 

c. $-x^{2}+4x-4$ ;

d. $x^{2}+x+1$

Exercice 18

Soit $P(x)à=x^{3}+x^{2}-5x+3$

1. Montrer que $1$ est racine de $P$

2. Déterminer $a$, $b$, $c$ tels que $P(x)=(x-1)\left(ax^{2}+bx+c\right)$ (identification des coefficients).

3. Factoriser complètement $P(x)$

Exercice 19

Soit $P(x)=3x^{3}-x^{2}-12x+4$

1. Vérifier que $2$ est racine de $P$

2. Factoriser $P(x)$ complètement.

Exercice 20

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation 

$2x^{3}-x^{2}-55x-2=0$ (on cherchera une racine évidente parmi $-1$, $1$, $2$

Exercice 21

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation   $x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6=0$ on vérifiera que $1$ et $-1$ sont racines )

D. Étude du signe et inéquations

Exercice 22

Étudier le signe de chacune des expressions suivantes :

a. $3x-6$ ; 

b. $(x+1)(2-x)$ ; 

c. $x(x-3)(x+2)$

Exercice 23

Dresser le tableau de signes de :

a. $x^{2}-x-6$ ; 

b. $-x^{2}+2x+3$ ; 

c. $4x^{2}-12x+9$ ; 

d. $x^{2}+2x+5$

Exercice 24

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

a. $(2x-1)(x+3)< 0$ ; 

b. $x^{2}-3x-4\geq 0$ ; 

c. $-2x^{2}+x+1 > 0$

Exercice 25

Soit $P(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$ 

En utilisant la factorisation obtenue plus haut, étudier le signe de $P(x)$ et résoudre $P(x)\geq 0$

Exercice 26 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

a. $\dfrac{2x+1}{x-3}< 0$ ;

b. $\dfrac{x^{2}-4}{x-1}\geq 0$

c. $\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}-4x+3}\geq 0$

Exercice 27

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\dfrac{x+1}{x-2}\leq 2$

Attention : ne pas multiplier par $x-2$ ; se ramener à une comparaison avec $0$

E. Exercice de type baccalauréat 

Exercice 28

(type bac) Soit $P(x)=2x^{3}-3x^{2}-3x+2$

1. Calculer $P(-1)$ et $P(2)$

Que peut-on en déduire ?

2. Factoriser $p(x)$ complètement

3. Résoudre $P(x)=0$

4. Étudier le signe de $P(x)$ et résoudre $P(x)\geq 0$

Exercice 29

(type bac) Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^{3}-x^{2}-4x+4}{x^{2}-x-2}$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$

2. Montrer que $x^{3}-x^{2}-4x+4=(x-1)\left(x^{2}-4\right)$ et factoriser le numérateur

3. Simplifier $f(x)$ pour $x$ dans l'ensemble de définition

4. Étudier le signe de $f(x)$ et résoudre $f(x)\geq 0$

Exercice 30(type bac) soit $P(x)=x^{4}-x^{3}-7x^{2}+x+6$

2. Factoriser $P(x)$ complètement.

3. Résoudre $P(x)=0$

4. Étudier le signe de $P(x)$ et résoudre $P(x)<0$

5. Résoudre l'inéquation $\dfrac{p(x)}{x^{2}-1}\geq 0$

2.6 Problèmes de synthèse

Problème 1 : fabrication d'une boîte

On dispose d'une feuille de carton carrée de côté $6\,dm$

On découpe, dans chaque coin, un carré de côté $x$ dm, puis on replie les bords pour obtenir une boîte sans couvercle, de base carrée.

1. Montrer que $0<x< 3$ et que le volume de la boîte est $V(x)=x(666-2x)^{2}(en dm^{3}$

2. Développer $V(x)$ et montrer que $V(x)=4x^{3}-24x^{2}+36x$

3. On souhaite un volume de $166\,dm^{3}$

Montrer que cela revient à résoudre $x^{3}-6x^{2}+9x-4=0$

4. Vérifier que $1$ est racine de $x^{3}-6x^{2}+9x-4$, puis factoriser ce polynôme sous la forme $(x-1)^{2}(x-4$

5. En déduire la (ou les) valeur(s) de $x$ convenable(s) dans $]0\ ;\ 3[$

6. Étudier le signe de $V(x)-16$ sur $]0\ ;\ 3[$ Pour quelles valeurs de $x$ le volume est-il
supérieur ou égal à $16\,dm^{3}$ ? Que peut-on en conclure sur le volume maximal de la boîte ?

Problème 2 : étude d'une fonction rationnel

Soit $f(x)=\dfrac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x^{2}-4}$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$

2. Vérifier que $1$ et $-1$ sont racines du numérateur $N(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3$, puis
factoriser $N(x)$ complètement.

3. Dresser le tableau de signes de $f(x)$ et résoudre $f(x)\geq 0$

4. Déterminer les réels $a$, $b$, $c$, $d$ tels que, pour tout $x$ de l'ensemble de définition,
$f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^{2}-4}$

(On effectuera la division euclidienne de $N(x)$ par $x^{2}-4$

5. Résoudre $f(x)=0$ puis $f(x)=x-3$