Chapitre 3: Calcul différentiel - 1er S1

a. Définitions

Définition (nombre dérivé)

1. $f$ est dérivable au point $x_{0}$ si $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=t\in\mathbb{R}$

Le nombre $\ell$ est appelé nombre dérivé de $f$ au point $x_{0}$ et on écrit : $\ell=f'\left(x_{0} \right)$

2. $f$ est dérivable à droite au point $x_{0}$ si $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}^{-}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\ell\in\mathbb{R}$ et on écrit : $\ell=f_{d}^{'}\left(x_{0}\right)$

3. $f$ est dérivable à gauche au point $x_{0}$ si $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}^{-}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\ell\in\mathbb{R}$ et on écrit : $\ell=f_{d}^{'}(x_{0})$

4. $f$ est dérivable en $x_{0}$ si et seulement si $f$ est dérivable à gauche et à droite en $x_{0}$ et si l'on a en plus : $f_{d}^{'}\left(x_{0}\right)=f_{g}^{'}\left(x_{0}\right)$

5. $\left(f\text{ est dérivable en x_{0} }\right)\Rightarrow\left(f\text{ est continue en }x_{0}\right)$

$\left(f\text{ n'ext pas continue en }x_{0}\right)\Rightarrow\left(f\text{ n'est pas dérivable en }x_{0}\right)$

b. Tangente à une courbe 

1. Si $f$ est dérivable en $x_{0}$, alors $\mathbb{C}_{f}$ admet au point $M_{0}\left(x_{0}\ ;\ f(x_{0}\right)$ une tangente $(T)$ de coefficient directeur $f'(x_{0})$ 

d'équation $(T)$ : $y=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$

2. Si $f$ est dérivable à droite en $x_{0}$, alors $\mathbb{C}_{f}$ admet au point $M_{0}$ une demi-tangente de coefficient directeur $f_{d}^{'}\left(x_{0}\right)$, d'équation $y=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$

3. Résultat analogue à gauche 

Remarque : si $f_{d}^{'}\left(x_{0}\right)\neq
f_{g}^{'}\left(x_{0}\right)\;,\mathbb{C}_{f}$ admet deux demi-tangentes distinctes en $M_{0}$ : c'est un point anguleux.

Si $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left|f(x)-f\dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\right|=\infty\;,\mathbb{C}_{f}$ admet une tangente verticale $x=x_{0}$
si les limites à gauche et à droite de ce rapport sont infinies de signes opposés, $M_{0}$ est un point de rebroussement.

c. Dérivabilité sur un intervalle

Fonction dérivée

1. $f$ est dérivable sur  un intervalle $I$ si $f$ est dérivable en tout dérivée de $f$

Si $f'$ est à son tour dérivable sur $I$, la fonction $f'$ : $x\mapsto f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$

Si $f'$ est à son tour dérivable, sa dérivé est noté $f"$ (fonction dérivée seconde )

On note $f^{(n)}$ ou $\dfrac{d"f}{dx"}$ la dérivé $n-ième$

d. Fonction dérivées de quelques fonctions usuelles

1. $(a)'=0$

2. $(x)'=1$

3. $(ax)'=a$

4. $\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}$

5. $\left(x"\right)'=nx^{n-1}$ valable pour tout $n\in\mathbb{Q}$

6. $\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

7. $(f+g)'=f'+g'$

8. $(fg)'=f'g+fg'$

9. $(af)'=af'$

10 $\left(\dfrac{f}{g} \right)$