Composition de Mathématiques du 1e semestre
Exercice 1
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $\sqrt{2x + 1} = x + 1$
2· Résoudre dans $R^{3}$ le système suivant :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}:
x + y + z &=& −19\\
16x − 8y − 2z &=& −58\\
x − y − z &=& 11
\end{array}\right.$$
3. En déduire la solution du système suivant :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
\dfrac{1}{x − 1} + (\sqrt{2y + 1 }− y + 3) + z& =& −19\\
\dfrac{16}{x − 1} − 8(\dfrac{2y + 1} − y + 3) − 2z &=& −58\\
\dfrac{1}{x − 1} − (\sqrt{2y + 1} − y + 3) − z &=& 11
\end{array}\right.$$
4. Soit le polynôme $P(x) = ax^{4} + bx^{3} + 13x^{2} + cx + 6$.
Déterminer les réels $a, b$ et $c$ tels que :
• $30$ est le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x + 1$.
• le trinôme $x^{2} + x − 2$ divise $P(x)$.
Exercice 2
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 4a, AC = 3a$ et $BC = 5a $avec $a > 0$ et $I$ milieu de $[BC]$.
Soit $k \in>\mathbb{R}$.
On considère l’ensemble $(C_{k}) ={M \in P tels que −MA^{2} + kMB^{2} + kMC^{2} = 25a^{2}k}$.
1.Préciser la nature du triangle $ABC$.
Justifier votre réponse.
2· Montrer que $A$ appartient à $(C_{k})$ .
3¸ On suppose que $k = \dfrac{1}{2}$ et on note $\left(C_{\dfrac{1}{2}}\right)$ l’ensemble obtenu.
(a) Montrer que $−MA^{2} +\dfrac{1}{2}MB^{2} +\dfrac{1}{2}
MC^{2} = 2\vec{MA}.\vec{AI} + \dfrac{AB^{2} + AC^{2}}{2}$ .
(b) En déduire la nature de $\left(C_{\dfrac{1}{2}}\right)$.
Construire alors $\left(C_{\dfrac{1}{2}}\right)$.
4. On suppose que $k = 1$ et on note $G$ le barycentre des points pondérés $(A;−1), (B; 1)$ et $(C; 1)$.
Soit $f$ l’application définie par $f(M) = −MA^{2} +MB^{2} +MC^{2}$, pour tout point $M$ du plan
(a) Montrer que $G$ appartient à la médiane issue de $A$ du triangle $ABC$.
(b) Montrer que $f(M) = MG^{2} + f(G)$.
(c) Calculer $f(A)$ et $AG$.
En déduire que $f(G) = 0$.
(d) En déduire que $(C_{1})$ est un cercle dont on précisera le centre et rayon.
(e) Construire alors $(C_{1})$.
5. Montrer que $\left(C_{\dfrac{1}{2}}\right)$
et $(C_{1})$ sont tangents au point $A$.
Problème
Partie A :
Soient $a, b, c$ et $d$ quatre réels tels que $c \ne 0$.
On considère l’application $$\begin{array}{rcl}h : \mathbb{R}\ \left\lbrace\dfrac{−
d}{c}\right\rbrace&\longrightarrow&\mathbb{R}\left\lbrace\dfrac{a}{c}\right\rbrace\\
x&\longmapsto&\dfrac{ax+c}{cx+d}
\end{array}$$
1. Montrer que $h$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $h^{−1}$. ·
2.Déterminer une relation entre $a$ et $d$ pour que : $\forall x \in\mathbb{R}\left\lbrace\dfrac{−d}{c}\right\rbrace, (hoh)(x) = x$.
3¸ On suppose que $a = −d$.
Vérifier que $\forall x \in\mathbb{R}\left\lbrace\dfrac{a}{c}\right\rbrace, h^{−1}(x) = \dfrac{ax + b}{cx − a}$
4. On considère l’application $$\begin{array}{rcl} h_{m} : \mathbb{R}\left\lbrace\dfrac{1}{m}\right\rbrace&\longrightarrow&
\left\lbrace\dfrac{1}{m}\right\rbrace avec m \in\mathbb{R^{*}}\left\lbrace−1; 1\right\rbrace.\\
x&\longmapsto&\dfrac{x-m}{mx-1}
\end{array}$$
(a) Montrer que $\forall x \in\mathbb{R}\left\lbrace\dfrac{1}{m}\right\rbrace, (h_{m}oh_{m})(x) = x$.
(b) En déduire que $h_{m}$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $h^{−1}_{m}$ .
Partie B :
Soit $f_{m}$ la fonction définie par $f_{m}(x) =\dfrac{ x − m}{mx − 1}$ avec m un paramètre réel.
Soit $(C_{m})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i} ,\vec{j} )$.
1. Déterminer le domaine de définition $Df_{m}$ de fm suivant les valeurs de $m$.
Dans toute la suite du problème, m est un entier naturel strictement supèrieur à $1$
2· Montrer que le point $\Omega_{m}\left(\dfrac{1}{m}
; \dfrac{1}{m}\right)$ est centre de symètrie à $(C_{m})$.
3¸ Montrer que $\Omega_{m}$ appartient à une droite fixe $(\Delta)$ dont on déterminera son équation.
4(a) Montrer que $\forall x, y \in\mathbb{R}\
\left\lbrace\dfrac{1}{m}\right\rbrace$
tels que $x \in y , \dfrac{f_{m}(x) − f_{m}(y)}{x − y}
=\dfrac{ −1 + m^{2}}{(mx − 1)(my − 1)}$.
(b) Etudier le Sens de variation de $f_{m}$ sur
$\left]−\infty; \dfrac{1}{m}\right[$ et sur$\left] \dfrac{1}{m};+\infty\right[$
(c) Tracer le tableau de variations de $f_{m}$.
Montrer que toutes les courbes$ (C_{m})$ passent par deux points fixes $I$ et $J$ dont on déterminera
leurs coordonnées.
Etudier la position relative de $(C_{2})$ et $(C_{3})$ sur $] −1; 0]$ et sur $]1;+1[$
Sur la feuille annexe , on a tracé les courbes $(C_{2}),(C_{3})$ et la droite $(\Delta)$
(a) Placer les points $I$ et $J$ sur la figure.
(b) Identifier alors les courbes $(C_{2}),(C_{3})$ et la droite $(\Delta)$.
Soit $(T_{m})$ l’ ensemble des points $M(x; y)$ du plan vérifiant $mx^{2} +my^{2} −2x−2y +m(2−m^{2}) = 0$.
(a) Montrer que :$\dfrac{ m^{4} − 2m^{2} + 2}{m^{2}} > 0$.
(b) Vérifier que $M(x; y) \in (T_{m}) \Leftrightarrow
x{2} + y^{2} −\dfrac{2}{m}x −\dfrac{2}{m}y + 2 − m^{2} = 0$.
(b) Montrer que $(T_{m})$ est un cercle de centre
$m$ dont on précisera son rayon $r_{m}$.
(c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $8x^{4} − 129x^{2} + 16 = 0$.
(d) Déterminer le(s) valeur(s) de $m$ sachant que $r_{m} = \dfrac{1}{4}\sqrt{226}$.
Soit $(D_{m})$ la droite d’équation $\dfrac{m^{2} − 1}{m}x −
\dfrac{1}{m}y + 1 − m^{2} = 0$.
(a) Montrer que le point $T_{m}(m; 0)$ appartient à $(D_{m})$ et à $(T_{m})$.
(a) Démontrer que$d(\Omega_{m}; (D_{m})) = \dfrac{1}{m}\sqrt{m^{4} − 2m^{2} + 2}$.
(b) En déduire la position relative de $(\Gamma_{m})$ par rapport à $(D_{m})$.
10 Sur la feuille annexe , les cercles $(\Gamma_{2}), (\Gamma_{3})$ ainsi que les droites $(D_{2})$ et $(D_{3})$, sont tracés.
(a) Placer les points $T_{2}$ et $T_{3}$ sur la figure.
(b) Identifier alors les cercles $(\Gamma_{2})$ et $(\Gamma_{3})$ ainsi que les droites $(D_{2})$ et $(D_{3})$.
Partie C :
Soit $M(x; y) \in (C_{m})$ dans le repère $(O,\vec{i} ,\vec{j} )$.
Soit $X$ et $Y$ les coordonnées de $M$
dans le repère $(\Omega_{m},\vec{i} ,\vec{j} )$.
1 Exprimer $X$ en fonction de $x$ et m puis $Y$ en fonction de $y$ et $m$.
2· Vérifier que $\forall x \in\mathbb{R}\ \left\lbrace\dfrac{1}{m}\right\rbrace, f_{m}(x) = \dfrac{1}{m}+\dfrac{ 1 − m^{2}}{m^{2}} ×\dfrac{1}{x −\dfrac{1}{m}}$
3¸ En déduire que $X \in\mathbb{R^{*}}$ et que $f_{m}(X) =\dfrac{ 1 − m^{2}}{m^{2}} ×\dfrac{1}{X}$
dans le repère $(\Omega_{m},\vec{i} ,\vec{j} )$.