EXERCICE 1 : 

On considère une application $$f : \begin{array}{rcl}
[4 ; +\infty[→ ℝ^{+}\\
x ⟼ x(\sqrt{x − 2})^{2}.
\end{array}.$$

1) Montrer que $∀ x; y \in [4; +∞[, f(x) = f(y) ⇒ (\sqrt{x }− 1)^{2} = (\sqrt{y} − 1)^{2}$.

2) Démontrer que $f$ est injective.

3) Démontrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque. 

EXERCICE 2 :

Partie A : 

Les questions de cette partie sont indépendantes.

1) Résoudre les équations et inéquations suivantes :

a) $\sqrt{x + 5} − \sqrt{x − 7} = 2 $; b) $\sqrt{x^{2} − 4x + 1 }≤ \sqrt{x^{2} − 4x − 1}$

2) Résoudre suivant les valeurs du paramètre réel $m$ le système suivant :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}x + y + z &=& m\\
x + y − mz &=& −1\\
mx + y − 2z& =& 0
\end{array}\right.$$

3) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel $m$ l’existence et le signe des racines de l’équation :

$(E): (m − 3)x^{2} − 2(m + 1)x + m + 2 = 0$

Partie B : 

Soit $P(x) = (x + 1)^{2n}− x^{2n} − 2x − 1, ∀ n \in ℕ^{∗}$.

1) Montrer que le polynome $P(x)$ est divisible par $H(x) = x(x + 1)$. 

2) Montrer que $P(x) = x(x + 1)[\sum^{2n−1}_{k=1}(1+x)^{k-1}-\sum^{2n−2}_{k=0}   x^{k}(−1)^{2n−2−k}]$.

Vous pouvez utiliser la relation : $a^{n} − b^{b} = (a − b)[Σ_{n−1}^{n−1} a^{k}b^{n-1−k}], n \in ℕ^{∗}$

3) Déduire des précédentes précédentes que pour $n = 2 , P(x) = H(x)(4x + 2)$.

EXERCICE 3 : 

$ABC$ est un triangle, on pose : $BC = a; AC = b$ et $AB = c$.

Soit $A_{1}$ le milieu du segment $[BC] ;
B_{1}$ le milieu de $[AC]$ et $C_{1}$ celui de $[AG]$. 

Soit $G$ l’isobarycentre du triangle $ABC$.

1) Montrer que pour tout point $M$ du plan, $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} +\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$.

2) En calculant de deux façons différentes $(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC})^{2}$, établir que :
$2\vec{MA} .\vec{MA_{1}}+  \vec{MB}.\vec{MC} = 3MG^{2} −\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}$. 

3) On considère les points communs aux cercles de diamètre $[AA_{1}]$ et $[BC]$.

Montrer que lorsqu’ils existent, ils appartiennent à un cercle de centre $G$ dont on déterminera le rayon en fonction de $a, b$ et $c$.

Partie A : 

1) Résoudre dans $[0; \pi]$ l’équation :$ (E): 4\cos^{2}(x) + 2(1 − \sqrt{3}) \cos x − \sqrt{3} ≤ 0$

2) Résoudre dans $[0; \pi]$ l’inéquation suivante : $(F) :\dfrac{1−\cos 2x}{\cos 2x}≥ 1$.

Partie B : 

Soit $x \in ℝ$ tel que $x ≠\dfrac{k\pi}{8}$
avec $k ∈ ℤ$. 

On pose : $A(x) = \tan(x) × \tan(2x) × \tan (3x)$.

1) Démontrer que $\sin(2a) = 2 \sin(a) \cos(a)$ et
$\sin(a) \sin(b) =\dfrac{1}{2}
[\cos(a − b) − (\cos(a+ b)] avec $a$ et $b$ sont des réels. 

2-a) Montrer que : $A(x) =\dfrac{4\sin 2(x)×\sin (2x)}{\cos (4x)}$. 

b) En déduire que : $A(x) =\dfrac{2\sin(x)×(cos(x)−cos(3x))}{\cos (4x)}$.

3) On suppose que : $3x =\dfrac{\pi}{3}$.

a) Montrer que $A(x) =\dfrac{\sin(2x)−\sin (x)}{\cos (4x)}$
, puis $A(x) =\dfrac{\sqrt{3}\sin (\left(\dfrac{\pi}{2}\right) }{\cos(4x)}$.
 
b) En déduire que : $\tan \left(\dfrac{4\pi}{9}\right)  × \tan \left(\dfrac{4\pi}{9}\right) × \tan \left(\dfrac{4\pi}{9}\right) = \sqrt{3}$.