Composition du 1er semestre - 1er S1

Exercice 1

Soit $ABC$ u triangle rectangle en $C$ et en réel différent de $-2$

On considère l'application $f$ du plan $\mathbb{R}$ par : $f(M)=MA^{2}+MB^{2}+mMC^{2}$

1. Justifier  l'existence du point $G_{m}$ barycentre du système : $\left\lbrace(A\;,1)\ ;\ (B\;,1)\ ;\ (C\;,m)\right\rbrace$

2. Montre que $f(M)=(2+m)MG_{m}^{2}+f\left(G_{m}\right)$

3. Montrer que : $f(A)+f(B)+mf(C)=(2+2m)AB^{2}$

4. Calculer $f(A)+f(B)+mf(C)$ en fonction de $f\left(G_{m}\right)$

5. En déduire que $(2+m)f\left(G_{m}\right)=(1+m)AB^{2}$

6. Soit $\left(E_{m}\right)$ l'ensemble des points $M$ du plan tel que $f(M)=AB^{2}$

a. Déterminer la nature de l'ensemble $\left(E_{m}\right)$

b. Montrer que pour tout $m\neq -2$, le point $C\in\left(E_{m}\right)$

c. Placer le point $G_{-3}$ et construire l'ensemble $\left(E_{-3}\right)$

Exercice 2 :

Soit $ABCD$ un carré de centre $O$

On pose $I=A$, $B\\;,D$, $D$ et $K=A I$

On désigne par $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(DI)$

1. Montrer que $\overrightarrow{HK}\cdot\overrightarrow{HJ}=HA^{2}+\overrightarrow{HI}\cdot\overrightarrow{HD}$

2. Montrer que $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AH}^{2}+\overrightarrow{HI}\cdot\overrightarrow{HD}$

3. En déduire que les droites $(JH)$ et $(HK)$ sont perpendiculaires

4. On pose $AB=2a$ ou $a$ est un rel strictement positif

On rapporte le plan au repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ tel que $\vec{i}=\dfrac{1}{2a}\overrightarrow{AB}$ et $\vec{j}=\dfrac{1}{2a}=\overrightarrow{AD}$

a. Déterminer les coordonnées du point $H$

b. Retrouve analytiquement le résultat du $3.$

5. En exprimant $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DI}$ de deux manières différentes, déduire que $DH=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}a$

6. Montrer alors qu'on a $AH=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a$

7. Vérifier que $k$ est le barycentre de $\left\lbrace(A\;,3)\ ;\ (B\;,1)\right\rbrace$

8. Déterminer l'ensemble 

a. $(E)$ des points $M$ du plan tels que : $3MA^{2}+MB^{2}=28a^{2}$

b. $(\Delta)$ des points $M$ du plan vérifiant : $3MA^{2}+MB^{2}-4\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{MI}=3a^{2}$

Exercice 3

1. Soit $f\ :\ A\rightarrow B$ et $g\ :\ B\rightarrow C$ deux applications bijectives réciproques respectives $f^{-1}$ et $g^{-1}$

a. Démontrer que $\left(g\circ f\right)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

b. Démontrer que $\left(g\circ f\right)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
 
2. On considère les application $f$ et $g$ définies par $f\ : [0\ ;\ +\infty[\rightarrow[0\ ;\ +\infty[\\
x\mapsto \sqrt{x}$ et 

$g\ :\ [0\ ;\ +\infty[\rightarrow[-\dfrac{1}{3}\ ;\ 1[\\
x\mapsto \dfrac{x-1}{x+3}$

a. Démontrer que $f$ est une bijective et déterminer sa bijection réciproque $f^{-1}$

b. Montrer que $g$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $g^{-1}$

Soit $h$ l'application définie par $h\ :\ [0\ ;\ +\infty[\rightarrow \left[-\dfrac{1}{3}\ ;\ 1\right[\\
x\mapsto \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}$

L'application $h$ est-elle bijective ? 

Si oui déterminer sa bijection réciproque $h^{-1}$

Exercice 4

Une fonction $f$ est dite de type ""Fatick" lorsqu'elle est définie sur $\mathbb{R}\;,f(0)=-1$ et pour tout $x$ non nul $f(x)+\left(\dfrac{1}{x}\right)=1$

On note $F$ l'ensemble des fonctions de type "Fatick" 

A. On considère une fonction $f$ de type "Fatick" 

1. Calculer $f(1)$ et $f(-1)$

2. Montrer que $f(-x)-f(x)=\left(\dfrac{1}{x}\right)-f\left(-\dfrac{1}{x}\right)$ pour $x$ non nul

3. En déduire qu'on a :

a. Si $f$ est paire et de type "Fatick" alors $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=f\left(-\dfrac{1}{x}\right)$

b. Si $f$ est impaire et type "fatick" alors $f(-x)=\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)-f\left(-\dfrac{1}{x}\right)}{2}$

B. On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{2x^{2}-1}{x^{2}+1}$

1. Vérifier que $g$ est un élément de $F$

2. Montrer que $g$ est majorité par $2$ et minorée par $-1$

3. Étudier la parité de $g$

Que peut-on en déduire graphiquement ?

4. Calculer $g\left(\dfrac{5}{2}\right)$ puis donner (sans calcul) $g\left(\dfrac{2}{5}\right)$

5. Montrer qu'on peut réduire l'étude de $g$ à $[0\ ;\ +\infty[$

6 Soient $a$ et $b$deux réels tels que $0\leq a< b$

a. Vérifier que : $g(b)-g(a)=\dfrac{3\left(b^{2}-a^{2}\right)}{\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)}$

b. En déduire les variations de $g$ et dresser son tableau de variation sur $[0\ ;\ +\infty[$ 

c. Résoudre dans $[0\ ;\ +\infty[$ chacune des équations $g(x)=0)$ et $g(x)=1$

d. En déduire $E(g(x))$ pour tout $x\in[0\ ;\ +\infty[$ où $E$ désigne la fonction partie entière

7. Tracer la courbe $\left(C_{g}\right)$ de $g$ sur $[0\ ;\ +\infty[$ puis sur $\mathbb{R}$ dans un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

8. En déduire la courbe représentative de la fonction $h(x)=g(x+2)+1$