Composition du 1er semestre 1L

Exercice 1

A. Définir les termes suivants : monôme, polynôme racine d'un polynôme

B. Compléter les phrases suivantes :

Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c$ un trinôme du second degré

a. Si $\Delta >0$ alors la factorisation de $f$ est : $\ldots\ldots$

b. Si $\Delta <0$ alors la factorisation de $f$ est : $\ldots\ldots$

c. Si $\Delta=0$ alors $s$ la factorisation de $f$ est $\ldots\ldots$

B. Choisir la bonne réponse :

1. On considère le polynôme $P$ défini par $P(x)=x^{3}-7x+6$ alors on a :

a. $-1$ est une racine de $P$ 

b. $P(x)$ est divisible par $-1$

c. $P$ n'a pas de racine

2. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes de degrés respectifs $2$ et $3$ alors le degré du polynôme $P\times Q$ est :

a. $3$

b. $5$

c. $6$

C. Répondre par vrai ou faux

1. Si un polynôme est de degré $3$ alors son carré est de degré $6$

2. Si $a$ est une racine d'un polynôme $P$ alors $P(x)$ est divisible par $(x+a)$

Exercice 2

On considère le polynôme P défini par : $P(x)=2x^{3}-9x^{2}+x+12$

1. Calculer $P(-1)$ puis conclure 

2. Factoriser $P(x)$

3. Résoudre $P(x)=0$ et $P(x)\geq 0$

4. En déduire les solutions de :

a. $P\left(x^{2}\right)=0$

b. $P(2x-1)=0$

Exercice 3

1. Montrer que le triplet $(-3\ ;\ 0\ ;\ 2)$ est une solution de système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
-27x+9y+z&=&83\\ x+y+z&=&-1\\ -x+y+z&=&5 \end{array}\right.$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-3y+z&=&2\\ y+2x&=&0\\
3z&=&6 \end{array}\right.$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ par la méthode du pivot de Gauss : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
4x-4y-4z&=&24\\ -2x+6y+2z&=&24\\ -x-y+5z&=&24 \end{array}\right.$

4) Résoudre graphiquement le système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-2&\leq&0\\ 2x-y+1&\leq&0 \end{array}\right.$