EXERCICE 1 

Soit $a, b$ et $c$ trois réels et $P (x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ un polynôme. 

On suppose que $P (x)$ admet trois racines $α ,β$ et $γ$.

1. a) Développer $(α + β + γ)²$ et $(αβ + βγ + γα)² $

b) Déterminer en fonction de $x, a, b$ et $c$,le polynôme unitaire $Q(x)$ ayant pour racines $α^{2},
β^{2}$ et γ²$.

2. a) Montrer que le polynôme $Q (x²)$ peut s’écrire sous la forme :
$Q (x²) = P(x) ×R(x)$ où $R (x)$ à déterminer. 

b) Exprimer $R(x)$ en fonction de $x, a, b$ et $c$. 

c) Retrouver alors $Q (x)$ en fonction de $x, a, b$ et $c$

EXERCICE 2 

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $BC= 2\sqrt{3}cm ; G =bar{(A,3);(B ,-2); (C ,-2)} ; I$ le milieu du segment $[BC]$ et $J$ le symétrique du point $A$ par rapport au point $I$.

1. Démontrer que $J$ est le milieu du segment $[AG]$

2. Soit $f$ la fonction définie du plan $(P)$ vers $R$ par :
$∀ M ∈ (P), f(M) = 3MA^{2} -2MB^{2} -2MC^{2}$ ;

Soit $(E_{k})$  l’ensemble des points $M$ du plan tels que $f(M) = k$

a) Démontrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $f(M) = -MG^{2} + f(G)$

b) Calculer $f(A)$ et $f(G)$

c) Etudier suivant les valeurs de $k$, la nature de$ (E_{
k})$

d) Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $(E_{k})$ est le cercle passant par $A$. 

3. Déterminer et construire l’ensemble $(L)$ des points $M$ du plan tels que $\dfrac{MB}{MC}=3$

EXERCICE 3 

Soit ABC un triangle équilatéral direct inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon $R$.

1. Soit $[AI], [BJ]$ et $[CK]$ les trois hauteurs du triangle $ABC$.

a. Montrer que les points $B, K, O$ et $I$ sont cocycliques. 

b. Montrer que les points $O, I, C$ et $J$ sont cocycliques.

c. Donner alors la position relative de ces deux cercles en précisant éventuellement
leur(s) point(s) de contact 

d. Démontrer que la droite $(IA)$ est bissectrice de l’angle $KIJ$ 

2. Soit $A’$ le point diamétralement opposé à $A ; M$ un point du demi-cercle $ABA’$ distinct de $A$ et de $A’$. 

On pose $(\vec{O}A;\vec{O}M) = α$ avec $0 < α < π$.

a. Prouver que $MA = 2R\sin\dfrac{\alpha}{2}$.

b. Exprimer en fonction de $\alpha$ la mesure en radian de $(\vec{O}M;\vec{O}B)$ et de $(\vec{O}M;\vec{O}C)$ puis exprimer $MB$ et $MC$ en fonction de $R$ et $\dfrac{\alpha}{2}$.

c. En utilisant les formules d’addition, démontrer que la somme $\sin^{2}\left(\dfrac{α}{2}\right) + \sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\dfrac{\alpha}{- 2}\right) + \sin^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}\dfrac{\alpha}{- 2}\right)$ est indépendante de $\alpha$

d. En déduire que la somme $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ ne dépend pas de la position du point $M$.

PROBLEME 

Soient $f$ et $g$ deux applications de $ℝ $à valeurs dans $ℝ$ telles que : $∀ x ∈ R, f(x) = g(x) + 2x^{2} -3x -2$

PARTIE A : 

Soient $u$ l’application définie de $R*$ dans $ℝ$ par $u(x) = x -\dfrac{3}{x}$ et $v$ l’application définie de $]-∞;-1] ∪ [2;+∞[$ dans $ℝ$ par $v(x) = \sqrt{x^{2}-x-2}$

1) Montrer que si $f(-x) = g(-x)$ alors $x = -2 $ou $x =\dfrac{1}{2}$

2) Résoudre dans $ℝ$ les équations et inéquations suivantes :

a) $f o u(x) = g o u(x) $

b)$ f o v(x) ≥ g o v(x) + 2x^{2} -8 $

PARTIE B : 

Dans cette partie, on donne $g(x) = -x^{2}f(x) + 4$

1) Montrer que $f(x) =\dfrac{2x^{2}-3x+2}{x^{2}+1}$

2) a) Montrer que : $∀ x ≠ 0, f\left(\dfrac{1}{x}\right) = f(x)$

b) $f$ est-elle injective? Justifier. 

3) a) Résoudre dans $ℝ$ l’équation : $f(x) = -1$

b) $f$ est-elle surjective? Justifier 

4) Soit $h$ la restriction de $f$ à l’intervalle $[1; +∞[$ .

a) Montrer que $h$ est bijective de $[1; +∞[$ vers $\left[\dfrac{1}{2}; 2\right[$

b) Définir alors sa bijection réciproque $h^{-1}$