Exercice 1 :

1. Résoudre dans $ℝ$ :

a. $\sqrt{2x^{2} − 3x − 2 }= 2x^{2} − 3X − 1$

b. $\sqrt{x^{2} − 3x + 2 }≥ x + 3 $

2. Résoudre dans $ℝ$ suivant les valeurs de $m: (m^{2} − 1)(−2x^{2} + 3x − 1) < 0$

Exercice 2  :

On dit qu’un polynôme $P(x)$ est Amarien s’il vérifie $(x − 16)P(2x) = 16(x − 1)P(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

1. Montrer que si $P(x)$ est Amarien alors il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x − 2)(x − 4)(x − 8)(x − 16)Q(x)$. 

2. En déduire tous les polynômes Amarien de degré $4$. 

3. On suppose que $P(x)$ est Amarien et $P(2^{5}) = 0$.

a. Montrer que $P(2^{6}) = P(2^{7}) = 0$. 

Quelle conjecture peut-on en tirer ? 

b. On suppose que cette conjecture est prouvée, que peut-on dire de $P(x)$ ? 

Exercice 3 : 

Soit $ABC$ un triangle, $a, b > 0$. 

On appelle point de Dr FALL, le point $G$ défini par
$G = bary{(A, a) ; (B, a) ; (C, b)}$.

1. a. Justifier que  $(A;\vec{AB} ; \vec{AC} )$ est un repère du plan. 

b. En utilisant ce repère, montrer que $(AC)$ et $(BG)$ sont sécantes. 

2. On note $I$ point d’intersection de $(AC)$ et $(BG)$ et on admet que $(AB) ∩ (CG) = { J}$ et $(BG) ∩ (AG) = {K}$.

a. Montrer que $I = bary{(A, a) ; (C, b)}; J$ est le milieu de $[AB]$ et $K= bary{(B, a) ; (C, b)}$.

c. Montrer que $(AB) // (IK)$.

3. On donne $b = 2a$.

a. Construire $J$ et $K$. 

b. En déduire la construction du point de Dr FALL. 

Exercice 4 : 

Soit $A$ et $B$ tels que $AB = 2 cm$ et l’application du plan $P$ dans $\mathbb{R}, f: P → \mathbb{R}$
M \mapsto f(M) =\vec{ AB} . \vec{AM}$

1. Soit $k \in \mathbb{R}$.

a. Déterminer l’ensemble des points $M$ de $P$ vérifiant $f(M) = k$. 

b. Que représente cet ensemble pour $f$? 

Construisez-le pour $k = 0$.

2. $f$ est-elle surjective ? injective ? 

(Justifier votre réponse :

3. Quel est l’ensemble des points $M$ de de $P$ vérifiant $f(M) > 0$? 

Exercice 5 : 

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = a$ et $AC = 2 a$. 

Soit $I$ le milieu de $[AC]$ et $G$ le barycentre du système de points ${(A , 3); (B, −2); (C, 1)}$.

1) Construire $G$ puis déterminer la nature du quadrilatère $ABIG$. 

2) Exprimer $GA; GB$ et $GC$ en fonction de $a$.

3) Soit $f: M \mapsto 3 MA^{2} − 2 MB^{2} + MC^{2}$.

a) Exprimer $f(M)$ en fonction de $MG$ et $a$.

b) Déterminer et construire l’ensemble $(C)$ des points $M$ tels que $f(M) = 2a^{2}$.

2) Soit $h: M \mapsto 3 MA^{2} − 2 MB^{2} − MC^{2}$.

a) Démontrer qu’il existe un vecteur  non nul tel que $h(M) = \vec{MB}.\vec{U} − 2a^{2}$.

b) Soit $(Δ)$ , l’ensemble des points $M$ tels que $h(M) = −2a^{2}$ . 

Vérifier que $I$ et $B$ appartiennent à $(Δ)$ puis préciser la nature de $(Δ)$.

Construire $(Δ)$. 

3) $(Δ)$ et $(C)$ sont sécants en deux points $E$ et $F$. 

Démontrer que $GEC$ et $GFC$ sont équilatéraux.