Concours miss sciences-prince sciences 2025

Épreuve : Mathématique

Partie 1

Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule est exacte.

Pour répondre, écrire le numéro de l'énoncé et la lettre correspondante à la réponse choisie.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline N^{\ast}&\text{Ennoncé }&\text{Réponses}\\ \hline1&\text{Soit }A\;,M\;,D\text{ et }C&\\ &\text{trois points du plan }&A\ :\ \text{égal à}\overrightarrow{DA}\\  &\text{Le vecteur }&A\ :\ \text{égal à }\overrightarrow{AM}\\&\overrightarrow{U}=-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\text{est }&C\ :\ \text{égal à}\overrightarrow{AC}\\ \hline 2&fig420&A\ :\ \text{parallèles}\\ &ABCDEFG\text{ un cube, }O\text{ et }K&B\ :\ \text{perpendiculaire }\\ &\text{les milieux de }[FG]\text{ et }[BF]&C\ :\ \text{sécantes }\\ &\text{La droite }(KO)\text{et le plan }DEC\text{ sont }&\\ \hline 3&\text{Si }2.4\leq-2x\leq 6.6&A\ :\ -14.52\leq xy\leq -0.48\\ &\text{et }|y-2.4|\leq 2\text{alors }&B\ :\ -5.28\leq xy\leq -1.32\\ &&C\ :\ 0.48\leq xy\leq 14.52\\ \hline 4&\text{Si }1<\alpha<2\text{ et }-3.2<b<-1.2&A\ :\ 3.2\leq y\leq10.4\\ &\text{alors un encadrement de }&B\ :\ 4.4\leq y\leq 7.2\\ &y=\alpha-ab+\dfrac{2}{\alpha}\text{ est }&C\ :\  3.2\leq y\leq 7.2\\ \hline 5&ABC\text{ un triangle équililatéral de }&A\ :\  \alpha^{2}/3\\ &\text{coté }\alpha\text{Le produit scalaire }&B\ :\ \alpha^{2}\\ &\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\text{ est égal à}&C\ :\ C\alpha^{2}/2\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 6&\text{La valeur de }m\text{ pour que le  }&A\ :\ m=-3/2\\ &\text{système admet une infinité }&B\ :\ m=-2/3\\ &\text{de solution est }&C\ :\ m=2/3\\ &\left\lbrace\begin{array}{rcl}x-3y&=&-2\\ mx+2y&=&\dfrac{4}{3} \end{array}\right.&\\ \hline 7&\text{Dans le plan est muni d'un repère }&A\ :\ x-14y+12=0\\ &\text{orthonormé }\left(O\;,\vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)\;,\text{ on donne deux points }&B\ :\ x+14y-12=0\\ &C\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\text{ et }D\begin{pmatrix} 5\\ 1/2 \end{pmatrix}&C\ :\ x+12y-14=0\\ &\text{une équation cartésienne de }&\\ &\text{la droite }(CD)\text{ est :}&\\ \hline8&\text{La valeur de }\tan(x)&A\ :\ \tan(x)=-\dfrac{4}{3}\\ &\text{pour }x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ 0\right[&B\ :\ \tan(x)=\dfrac{4}{3}\\ &\text{et }\cos(x)=\dfrac{3}{5}\text{ est }&C\ :\ \tan(x)=-\dfrac{3}{4}\\\hline  9&\text{Soit }ABC\text{ un triangle, }G&A\ :\ 3\overrightarrow{LG}\\ &\text{son centre de gravité, }I\text{le milieu de }&B\ :\ 3\overrightarrow{GL}\\ &[BC]L\text{le barycentre de }&C\ :\ 6\overrightarrow{LG}\\&\\&\lbrace(A\ ;\ 2)\;,(B\;,1)\;,(C\ ;\ 1)\rbrace\text{alors }\overrightarrow{AI}\text{ est égal à :}&\\\hline 10&\text{Les droites }(D)\ :\ &A\ :\ \text{strictement }\\ &2x-y=5\text{ et }&B\ :\ \text{sécantes }\\&\left(D'\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&-2+t\\ y&=&1+3t \end{array}\quad \left(t\in\mathbb{R}\right)\right.\text{ sont }&C\ :\ \text{confondues}\\ \hline \end{array}$

Partie 1

Exercice 1

On donne deux nombres réel $x$ et $y$

1. Calculer $(2x-y)^{2}$

2. Prouver que, pour tous nombres réels $x$ et $y$ on a $5x^{2}+y^{2}+4\geq 4x+4xy$

3. Déterminer les valeurs de $x$ et $y$ pour que $5x^{2}+y^{2}+4=4x+4xy$

Exercice 2

1. Construire deux cercles $C_{1}$ et $C_{2}$ concentriques dont les rayons sont respectivement $R$ et $2R$ et de centre $O.$

Marque un point $A$ sur $C_{1}$

2. Construire l'image $\Gamma$ de $C_{1}$ par la rotation de centre $A$ et de rayon  $\dfrac{\pi}{3}$

3. Montrer que $\Gamma$ et $C_{2}$ sont tangents intérieurement

4. Construire un triangle $ABC$ équilibre avec $B$ et $C$ respectivement sur $C_{1}$ et $C_{2}$

Exercice 3

Dans la figure ci-dessus, les points $E$, $G$ et $C$ sont alignés de même que points $B$, $C$ et $B$. $ABCD$ est un carré.

Sans utiliser le rapporteur, détermine en justifiant la mesure de l'angle $\overbrace{AEF}$