Contrôle continu n°1 du premier semestre 1er S1

Exercice 1

Soit l'équation $(E)\ :\ (m+1)x^{2}+2mx+m-5=0$

1. Déterminer $m$ pour que $(E)$ admette deux racine inverses.

2. Déterminer $m$ pour que $(E)$ admette deux racines distinctes positives

3. Déterminer $m$ pour que $(E)$ admette deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ vérifiant $-1< x_{1}<1< x_{2}$

4. Lorsque les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ existent, donner une relation indépendante de $m$ entre elles.

5. Déterminer $m$ pour que l'on ait $(m+1)x^{2}+2mx+m-5> 0$ pour tout $x$ réel.

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes.

1. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$

2. $2\left|x^{2}-3x\right|> -2x-1$

3. $5x-1\leq \sqrt{-5x^{2}+3x+2}$

Exercice 3

1. déterminer le polynôme unitaire de degré $3$ tel que :

$\bullet\ x-1$ divise $P(x)$

$\bullet\ $ Le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$ est égal à $10$

$\bullet\ -4$ est reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x$ 

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x)=0$

3. Soit $H$ le polynôme de degré $3$ vérifiant $\left\lbrace\begin{array}{rcl} H(x+1)-H(x)&=&6x+4\\
H(0)&=&-4 \end{array}\right.$

a. Calculer $H(1)$ et $H(2)$

b. Sachant que $H(x)=ax^{3}+bx-4$, déterminer les réels $a$ et $b$

4.on pose $\mu=\sqrt{\sqrt{5}+2}-\sqrt{\sqrt{5}-2}$

$(\text{NB : pour tout réel }k\geq 0\;,^{3}\sqrt{k}=k^{\dfrac{1}{3}})$

(a) Montrer que $\mu$ est racine de $P(x)$

(b) En déduire que $\mu$ est un entier que l'on précisera

5. Soit le polynôme $Q(x)=nx^{n+2}-(n+2)x^{n+1}+(n+2)x-n$

(a) Montrer que tout entier naturel $nQ(x)$ est divisible par $(x-1)^{2}$

(b) En déduire que $3n\left(4^{n+1}+1\right)$ est divisible par $9$ 

Exercice 4

A. On considère l'application $f$ définie par :

$f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow]0\ ;\ \infty[\\ x\rightarrow f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}$

1. Montrer que $f$ est bijective

2. Déterminer $f^{-1}$

B. Soit $g$ l'application définie par :

$g\ :\ \mathbb{N}\times\mathbb{N}\\
(a\;,b)\rightarrow f((a\ ;\ b))=ab$

1. Déterminer $g^{-1}\left(\left\lbrace 15\right\rbrace\right)$

2. Montrer que $g$ est surjective

3. Montrer que $g$ n'est pas bijective