Deuxième devoir surveillé de mathématique 1er S1

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes.

a. $\sqrt{-4x^{2}+x+5}=|2x+2|$

b. $\sqrt{1-2x}\geq 2x+11$

c. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$

d. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$

a. Déterminer le polynôme $P$ de degré $3$ tel que $P(O)=O$ et pour tout réel $x$, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$

b. En déduire la somme $S=1^{2}+2^{2}+3^{3}+\ldots+ n^{2}\;,n\in\mathbb{N}$

3. On donne $P(x)=x^{3}+a^{3}+b^{3}-3abx$

a. Montrer que $P(x)$ est divisible par $(x+a+b)$ 

Préciser le quotient $Q(x)$

b. En déduire que pour tout réels $a$, $b$ et $c$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab+bc-ac\right)$

Exercice 2

Les partie $A$ et $B$ sont indépendantes

A. Soit $ABC$ triangle d'aire $S$ tel que $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$

On note $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ le demi périmètre du triangle

1.a. Démontrer la formule d'alkashi : $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\overbrace{A}$

b. En déduire $\cos\overbrace{A}$ en fonction de $a$, $b$ et $c$

c. En déduire que $\sin^{2}\overbrace{A}\dfrac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{4b^{2}c^{2}}$

2.a. Démontrer que $\dfrac{a}{\sin\overbrace{A}}=\dfrac{abc}{2S}=2\mathbb{R}$

b. Montrer alors que $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

3. Application : On donne $a=4$, $b=5$ et $c=7$

Calculer $S$, $R$ et une mesure de l'angle $\overbrace{A}$

B. Soient $(C)$ et $(C')$ deux cercles de entres respectifs $O$ et $O'$ et de rayons respectifs $R=3$ et $R'=4.$ tels que la distance $OO'=5$

1. Déterminer et construire l'ensemble $(\Delta)$ des points $M$ du plan tels que : $OM^{2}-R^{2}=O'M^{2}-R'^{2}$

2. Soient $A$ et $B$ les points d'intersections de $(C)$ et $(C')$ et soit $C$ le point du cercle du $(C)$ diamétralement opposé à $A$

Déterminer et construire l'ensemble $\left(\Delta_{1}\right)$ des points $M$ tels que $\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CM}$

Donner la position de $(\Delta)$ par rapport à $\left(\Delta_{1}\right)$

Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$ ; $AC=8$ et $\overbrace{CAB}=\dfrac{\pi}{3}$

1.a. Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$

b. En déduire que $BC=2\sqrt{13}$

2. Soit $H$ le projeté  orthogonal de $B$ sur $(AC)$

a. Montrer que $AH=3$ et vérifier que $H$ est le barycentre des points $A$ et $C$ affectés des coefficients que l'on déterminera

b. Montrer que pour tout point $M$ du plan : $5MA^{2}+3MC^{2}++8MH^{2}+120$

3.a. Déterminer l'ensemble $(C)$ des points $M$ vérifiant : $5MA^{2}+3MC^{2}=336$

b. Vérifier que $N\in(C)$ et construire $(C)$

4. Soient les points $I$ milieu de $[AC]$ et $E$ définis par : $\overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$

a. Montrer que $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}=-12$ ; 

$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BE}=39$ ; 

$\overrightarrow{CI}\cdot\overrightarrow{AB}=-12$$ et 

$\overrightarrow{CI}\cdot\overrightarrow{BE}=-15$

b. En déduire que les droites $(BI)$ et $(AE)$ sont perpendiculaire