Devoir de mathématique des harmonie du premier semestre - 1er S1
Exercice 1
1. Soit l'équation $(E)$ : $(m+1)x^{2}+2(m-3)x+m+3=0$
a. Discuter suivant les valeurs de $m$ de nombre de solutions de l'équation $(E)$
b. Dans le cas où $(E)$ admet deux solutions distinctes, déterminer leur signes selon les valeurs de $m$
c. Dans le cas où les racines distinctes existent et sont notées $x_{1}$ et $x_{2}$, trouver une relation indépendante de $m$ qui les lie
Déduire de cette relation les solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ telle que $x_{1}=2x_{2}$
d. Déterminer $m$ pour que si on suppose $x_{1}< x_{2}$, on ait $x_{1}<1<x_{2}$
2. Résoudre suivant les valeurs de $m\left(m\neq -1\right)$
$(E)$ : $(m+1)x^{2}+2(m-3)x+m+3>0$
3. Former l'équation du second degré dont les solutions sont
$X=2x_{1}-1$ et $Y=2x_{2}-1$
Exercice 2
1. On considère le polynôme $f_{k}(x)$ degré $k+1$ tel que :
$f_{k}(O)=O$ et $f_{k}(x)-f_{k}(x-1)=x^{4}$
a. Déterminer $f_{1}$, $f_{2}$ et $f_{3}$
b. Démontrer que $f_{k}(x)$ est divisible par $x^{2}+x$
c. Déduis de ce qui précède les sommes :
$S_{1}=1+2+3+\ldots+n$ et
$S_{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}$
2.a. Déterminer le polynôme $P(x)$ du $4ème$ degré tel que :
Le coefficient de $x^{4}$ vaut $1$
Le reste de la division de $P(x)$ par $x^{2}-1$ est $3x+9$
b. Donner les racines réelles de l'équation $P(x)=0$
Exercice 3
Soit $ABCD$ un trapèze isocèle du plan $P$ tel que $AD=BC$
On appelle $G$ et $G'$ les barycentres respectifs des systèmes de points pondérés :
$\left\lbrace(A\;,1)\;,(B\;,2)\right\rbrace$ et $\left\lbrace(C\;,2)\;,(D\;,1)\right\rbrace$
Soit $K$ le point du plan tel que : $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+4\overrightarrow{KC}+2\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{O}$
1.a. Montrer que les ponts $G£$, $G'$ et $K$ sont alignés
b. Préciser la position de $K$ sur la droite $\left(GG'\right)$
Construire $G$, $G'$ et $K$
2. Déterminer puis construire l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que :
$\left|\left|3\overrightarrow{MA}+6\overrightarrow{MB}\right|\right|=\left|\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MD}\right|\right|$
3. Soit $H$ le barycentre des points pondérés $(A\;,1)$, $(B\;,2)$, $(C\;,1)$ et $(D\;,2)$ et $H'$ celui des points pondérés $(A\;,2)$, $((B\;,1)$, $(C\;,2)$ et $(D\;,1)$
a. Construire $H$ et $H'$
b. Montrer que $\left(HH'\right)$ et $(AB)$ sont parallèles
Exercice 4
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4$, $AC=6$ et $BC=8$, on désigne par $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$
Faire une figure
I. Montrer que $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}\right)$
1. Montrer que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}\right)$
2. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ puis déduire $\cos\overbrace{BAC}$
3. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$, calculer $AH$
4. Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$, en déduire $BJ$
5.a. Montrer que pour tout point $M$ du plan on a : $MA^{2}+MB^{2}=2MI^{2}+8$
b. Calculer $CI$
a. Déterminer l'ensemble $(\Gamma)=\left\lbrace M\in P\text{ tel que }MA^{2}+MB^{2}=100\right\rbrace$
6. Montre que pour tout point $M$ du plan on a $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=MJ^{2}-9$
7. Calculer $\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IC}$
En déduire l'ensemble $\left(\Gamma'\right)=\left\lbrace M\in P\text{ tel que }\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=7\right\rbrace$
8. Soit $O$ le milieu de $[IJ]$
a. Montrer que $MI^{2}-MJ^{2}=2\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{OM}$
b. Déterminer l'ensemble de $\left(\Gamma''\right)=\left\lbrace M\in P\text{ tel que }MA^{2}+MB^{2}-2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=-8\right\rbrace$
9. Construire les ensembles $(\Gamma)$ ; $\left(\Gamma'\right)$ et $\left(\Gamma''\right)$