Devoir de Maths 1 Semestre 2

Exercice 1 : (06,5 points)

Pour préparer la fête de Korité, ALY pèse ses poulets afin de les classer par catégorie de poids en cinq classes de poids.

1. Réponds par vrai ou faux aux affirmations ci-dessous en justifiant ta réponse :
   
   1. Le caractère étudié est quantitatif. (0,5 pt)
   2. Le centre de la première classe de la série est $2{,}125$. (0,5 pt)
   3. L'amplitude de chaque classe est $0{,}5\ \text{kg}$. (0,5 pt)
   4. L'effectif total est $40$. (0,5 pt)
   5. $40$ poulets pèsent moins de $2{,}75\ \text{kg}$. (0,5 pt)
   6. La médiane est dans la classe $[2{,}75\ ;\ 3{,}25[$. (0,5 pt)
2. Recopie le tableau en faisant apparaître la colonne des effectifs cumulés décroissants. (1 pt)
3. Calcule le poids moyen des poulets. (1 pt)
4. Construis l'histogramme et le polygone des effectifs cumulés décroissants. (1 pt)
5. Détermine en utilisant le théorème de Thalès le poids médian. (0,5 pt)

Exercice 2 : (03,5 points)

1. Détermine le réel $b$ pour que le couple $(2;-3)$ soit solution de l'équation $-2x - 3 + 4by = 0$. (0,5 pt)
2. Le couple $\left(\sqrt{3}\,;\,-3\right)$ vérifie-t-il l'inéquation $-2x - \sqrt{3}\,y - 4 < 0$ ? (0,5 pt)
3. On donne $E = (2x+3)^2 - (2x+3)$
   
   1. Factorise $E$. (0,5 pt)
   2. Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(2x+3)(2x+2) \le 0$. (1 pt)
4. Résous dans $\mathbb{R}^2$ le système d'inéquations suivant : $$\begin{cases} 2x + y - 3 > 0 \\ x - 2y + 2 < 0 \end{cases}$$ (1 pt)

Exercice 3 : (04,5 points)

1. Construis le triangle $ABC$ rectangle en $B$ tel que $AB = 3\ \text{cm}$, $BC = 4\ \text{cm}$ et le point $H$ pied de la hauteur issue de $B$. (0,5 pt)
2. Montre que $AC = 5\ \text{cm}$. (0,5 pt)
3. On se propose de calculer la valeur exacte de $BH$ de deux manières :
   
   1. En considérant le triangle $BHC$, exprime $\sin\widehat{ACB}$ en fonction de $BH$. (0,5 pt)
   2. En considérant le triangle $ABC$, calcule $\sin\widehat{ACB}$. (0,5 pt)
   3. Déduis des questions précédentes la valeur exacte de $BH$. (0,5 pt)
   4. Retrouve $BH$ par une autre méthode. (0,5 pt)
4. Soit $x > 0$. $D$ un point de $[CB]$ tel que $BD = x$ et $B \notin [CD]$. La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $D$ coupe la droite $(AB)$ en $F$. (0,5 pt)
   On suppose que $BF = (2x - 4)$. Montre que $BD = 3{,}2\ \text{cm}$ puis calcule $DF$. (0,5 + 0,5 pt)

On donne les formules de calcul de volume de solides ci-dessous :

Volume d'un cône de révolution : $\displaystyle V_{\text{CÔNE}} = \frac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$

Volume d'une boule : $\displaystyle V_{\text{BOULE}} = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$

Volume d'un cylindre : $\displaystyle V_{\text{CYLINDRE}} = \pi \times R^2 \times h$
$R$ désigne le rayon et $h$ la hauteur.

1. Calcule le volume exact de chacun de ces trois solides pour $h = R = 1\ \text{m}$. (1,5 pt)
2. Exprime le volume d'une boule et celui d'un cylindre en fonction du volume d'un cône de révolution pour $R = h$. (2 pts)
3. Un récipient servant à recueillir de l'eau de pluie est constitué d'un cylindre de rayon $R = 50\ \text{cm}$ ouvert à sa base supérieure et d'un cône de révolution situé à l'intérieur de ce cylindre. Le cône et le cylindre ont la même hauteur et la base du cône coïncide avec la base inférieure fermée du cylindre. Exprime le volume de ce récipient en fonction du volume du cylindre. (1,5 pt)