ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

EXERCICE 1 : (05,5 points)

1. Définis les termes suivants : mode ; médiane d'une série ordonnée. 1 point

2. Au cours de cette année scolaire Marie a eu en maths les notes suivantes : $11\ ;\ 08\ ;\ 05\ ;\ 13\ ;\ 06$.
   Choisis la bonne réponse : la note médiane est : a) 05 b) 08 c) 11 0,5 point

3. Des cuisses de 100 poulets sont réparties selon leur poids $P$ en grammes.
   

   Classes de $(P)$	$250 \le P < 300$	$300 \le P < 350$	$350 \le P < 400$	$400 \le P < 450$
   Effectifs	20	$x$	10	$y$

   1. Détermine la classe modale sachant que trois fois l'effectif correspondant à la classe $300 \le P < 350$ est égal à quatre fois celui correspondant à la classe $400 \le P < 450$. 1 point
   2. Par la suite de l'exercice on donne $x = 40$ et $y = 30$. Calcule le poids moyen. 1 point
   3. Calcule les effectifs cumulés décroissants puis trace l'histogramme des E.C.D 1,5 point
   4. Détermine par Thales le poids médian. 0,5 point

EXERCICE 2 : (03,5 points)

1. Soient $a$ et $b$ des nombres opposés démontre que $\displaystyle\left(a + \frac{1}{b}\right)^2 = a^2 + \frac{1}{b^2} - 2$. 0,75 point
2. Une application affine $f$ est telle que :
   
   $\triangleright$ Si $x < -2$  alors $f(x) = 3$

   $\triangleright$ Si $-2 \le x \le 1$ alors $f(x) = 1$

   $\triangleright$ Si $x > 1$   alors $f(x) = -2$
   1. Calcule $f(-1)$ ; $f(2)$ et $f(-3)$. 0,75 point
   2. Représente $f$ dans un repère orthonormal.
3. Une application affine $g$ est telle que $g(x) = |1 - 2x|$
   1. Écris $g$ sans les barres de la valeur absolue. 1 point
   2. Représente $g$ dans un repère orthonormal. 1 point

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

EXERCICE 3 : (04,5 points)

Soient $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que $AB = 4\,\text{cm}$ ; $\widehat{BAC} = 45°$. $(C)$ est un cercle de centre $B$ et de rayon $4\,\text{cm}$. Marque $H$ le point d'intersection de $(C)$ et la droite $(BI)$ tel que $I$ soit le milieu de $[AC]$ et $\widehat{AC}$.

1. Fais une figure puis justifie $ABC$ est rectangle isocèle puis montre que $AC = 4\sqrt{2}\,\text{cm}$. 0,5 point + 0,5 point
2. Justifie que $BI = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,BH$. 1 point
3. On fait tourner le triangle $ABC$ autour de l'axe $(AB)$. Après un tour complet, il décrit un solide de l'espace.
   1. Donne un nom à ce solide. 0,5 point
   2. Calcule son aire. 1 point

EXERCICE 4 : (6,5 points)

$SABCD$ est une pyramide régulière de sommet $S$, de hauteur $[SH]$ et dont la base est le carré $ABCD$.

On effectue une première section de cette pyramide par un plan $(P_1)$ parallèle à la base qui donne le polygone $A'B'C'D'$ et qui coupe $[SH]$ au point $I$.

Une deuxième section de cette pyramide par un plan $(P_2)$ parallèle à la base et qui donne le polygone $A''B''C''D''$ et qui coupe $[SH]$ en $O$ tel que $O \in [IH]$.

1. Faite la représentation de ces sections sur la figure précédente. 1,5 point
2. Une borne a la forme d'un tronc de pyramide à bases carrées $A'B'C'D'$ et $A''B''C''D''$.
   On donne $A'B' = 24\,\text{cm}$, $A''B'' = 40\,\text{cm}$ et $IO = 30\,\text{cm}$. On se propose de calculer cette borne.
   1. Montre que $B''O = 20\sqrt{2}\,\text{cm}$ et $B'I = 12\sqrt{2}\,\text{cm}$. 0,5 point + 0,5 point
   2. Montre que le coefficient de réduction $k$ qui permet de passer de la pyramide de hauteur $[SO]$ à la pyramide de hauteur $[SI]$ est $k = \dfrac{3}{5}$ en déduire que $SI = \dfrac{3}{5}\,SO$. 0,5 point + 0,5 point
3. On pose $SO = x$.
   1. En remarquant que $SO = SI + IO$. Exprime $SI$ en fonction de $x$. 0,5 point
   2. Déduis des questions précédentes que $x = 75\,\text{cm}$. 0,5 point
4. Calcule le volume de la pyramide $SA'B'C'D'$. 0,5 point
5. Calcule le volume de la borne. 0,5 point
6. On donne $OH = 15\,\text{cm}$.
   1. Montre que $k'$ le coefficient de réduction qui permet de passer de la pyramide de hauteur $[SH]$ à la pyramide de hauteur $[SO]$ est $k' = \dfrac{5}{6}$. 0,5 point
   2. Calcule le volume de la pyramide de hauteur $[SH]$. 0,5 point