Devoir mathématique - 1er S1

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes

a. $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=5$

b. $\sqrt{x^{2}+3x+6}-3x=x^{2}+4$

c. $\sqrt{x^{2}-1}\leq 2x+3$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$
le système suivant par la méthode du pivot de GAUSS :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} |x|5(y-2)-\dfrac{14}{x}&=&3\\ 5|x|+3(y-2)+\dfrac{2}{x}&=&3\\
3|x|+(y-2)-\dfrac{4}{x}&=&-1 \end{array}\right.$

Soit $P(x)$ un polynôme, $a$ et $b$ deux réels distincts. 

On note par $R(x)$ le reste de la division
de $P(x)$ par $(x-a)(x-b)$

Montrer que pour tout réel $x$, $R(x)=ax+\beta$ avec $\alpha=\dfrac{P(a)-P(b)}{a-b}$ et $\beta=\dfrac{aP(b)-bP(a)}{a-b}$

4. Montrer que le polynôme,$f(x)=(x+6)^{14}+(x+7)^{7}-1$, est divisé par $(x+6)(x+7)$

Préciser alors le quotient.

Exercice 2

Soit $f_{m}(x)=x^{2}+2(m-1)x+m^{2}-2\ ;\ m\in\mathbb{R}$

1. Discuter suivant les valeurs de $m$, l'existence et le signe des racines de $f_{m}(x)$

Lorsque $f_{m}(x)$ possède des racines distinctes ou non, on notera $x_{1}$ et $x_{2}$ ces racines

2. Trouver $m$ pour que les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ vérifient $\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f_{m}(x)>0$

(On discutera suivant $m$)

4. Montrer $\sqrt{2x+2}<x+m<=>\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\geq -m\\ x\in\left]x_{2}\ ;\ +\infty\right[ \end{array}\right.$

5. Soit $m\in\left]-\infty\ ;\ \dfrac{3}{2}\right]$

c. Étudier le signe de $f_{m}(-m)$ et $\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}+m$ puis en déduire la position de $-1$ par rapport aux racines $x_{1}$ et $x_{2}$

b. Montrer que $\sqrt{2x+2}<x+m<=>\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\geq-m\\ x\in\left]x_{2}\ ;\ +\infty\right[
\end{array}\right.$

6. Résoudre dans $\mathbb{R}$ suivant $m\in\mathbb{R}$, l'inéquation $\sqrt{2x+2}<x+m$

Exercice 3

Le but du problème est la résolution de l'équation $(E)\ :\ x^{3}+3x^{2}+115x-99=0$

On se ramène à la résolution d'une équation de la forme : $X^{3}+pX+q=0$ 

a.Trouver trois réels $a$, $p$ et $q$ tels que

$x^{3}+3x^{2}+15-99=(x+a)^{3}+p(x+a)+q$

b. trouver deux nombre $u$ et $v$ tels que $u^{3}+v^{3}=112$ et $u^{3}v^{3}=-64$

c. Résoudre l'équation $\left(E_{1}\right)$ vérifier que $\left(2+2\sqrt{2}\right)^{3}=56+40\sqrt{2}$

d. Résoudre l'équation $(E)$

Exercice 4

Définition 1 : 

On appelle cercle exinscrit dans un angle d'un triangle $ABC$, le cercle tangent aux supports des trois côtés de ce triangle situé dans cet angle et hors du triangle $ABC$

Son centre est le point d'intersection de la bissectrice intérieure de cet angle et des bissectrices extérieures des autres
angles.

Définition 2 : 

La bissectrice extérieure d'un angle est la droite perpendiculaire à la bissectrice intérieure de cet angle et qui passe par son sommet.

Étude d'un cas 

Soit $ABC$ un triangle, $M$ un point strictement extérieur au triangle $ABC$ et situé à l'angle $\overbrace{BAC}.$

Les droites $(AM)$, $(BM)$ et $(CM)$ coupent respectivement les cotés $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$ du triangle en $A'$, $B'$ et $C'$

On pose $S_{A}=\text{aire }(MAC)$ et $S_{c}=\text{aire }(MAB)$

1. Montrer que $\dfrac{S_{C}}{S_{A}}=\dfrac{BrA}{BrC}$

2. En déduire que $B'$ est le barycentre des points pondérés $\left\lbrace(A,-S_{A})\;,(C,S_{C}\right\rbrace$

On démontra de façon analogue que $A'$ et $C'$ sont barycentres respectifs des systèmes 

$\lbrace\left(B\;,S_{B}\right)\;,\left(C\;,S_{C}\right\lbrace$, $\left\lbrace(A,S_{A})\;,\left(B\;,S_{B}\right)\right\rbrace$

3. Soit $N$ le barycentre des points pondérés $\lbrace\left(B\;,S_{B}\right)\;,\left(C\;,S_{C}\right)\rbrace$, $\lbrace\left(A\;,-S_{A}\right)\;,\left(B\;,S_{B}\right)\rbrace$

Démontrer que les points $M$ et $N$ sont confondus.

Application : Soit $I$ le centre du cercle exinscrit à l'angle $\overbrace{BAC}$ dans le triangle $ABC$

On pose : $AB=c$, 

$AC=b$ et 

$BC=a$

En utilisant $3.$, démontrer que $I$ est le barycentre des points pondérés $\lbrace(A\;,a)\;,(B\;,b)\;,(C\;,c)\rbrace