Devoir mathématique - 2nd s

Exercice 1

1. Recopier et compléter chacun des énoncés ci-dessous pour avoir une proposition vraie

a. $(t+x)^{3}=\ldots$

b. Si $a$ et $b$ sont nombres réels alors $|a+b|\ldots |a|+|b|$

c. Le nombre $\left|-\sqrt{3}+\sqrt{2}\right|$ a pour valeur: $\ldots\ldots$

d. Soit $x$ et $y$ deux réels.

On a $d(x\ ;\  y)=|\ldots\ldots|$

e. Si $a$ et $b$ sont des réels avec $b\geq 0$ alors $\sqrt{a^{2}b}=\ldots\sqrt{b}$

f. Si $a$ et $b$ sont des réels avec $\geq 0$, $a\leq 0$ alors $\sqrt{a^{2}b}=\ldots \sqrt{b}$

2. Écrire $A$ le plus simplement possible, sans radical ni valeur absolue :

$A=\sqrt{\left(6-\sqrt{5}\right)^{2}}+\sqrt{4\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+|3-\sqrt{5}|$

2. Écrire $B$ sous la forme 

$2^{m}3^{n}5^{p}$ où $m$,$n$ et $p$ sont dans $\mathbb{Z}$ : $B=\dfrac{9^{3}(-25)^{3}(-B)^{5}}{\left(
-10^{2}\right)(-15)^{-3}(-6)^{-4}}$

Exercice 2 

On donne $A=3\sqrt{3}-\sqrt{144}+\left(\dfrac{7}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}$ et $B=\dfrac{1}{4}\left(5+\sqrt{5}\right)^{2}+\dfrac{8}{\sqrt{5}-3}$

1. Montrer que $A=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $B=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

2. Montrer que $A$ et $B$ sont des inverses.

3. Calculer $A+B$

4. Montrer que $(A+B)^{2}-2AB=\dfrac{1}{A}^{2}+\dfrac{1}{B^{2}}$, puis en déduire que $\sqrt{\dfrac{7}{A^{2}}+\dfrac{7}{B^{2}}}\in\mathbb{N}$

Partie B

Soit $x$, $y$ et $z$ trois réels strictement positifs.

1. Montrer que : $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2=\dfrac{(x-y)^{2}}{xy}$

2. En déduire que : $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\geq 2$

3. Développer $(x+y+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)$

4. Démontrer que : $(x+y+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\geq 9$

5. En déduire que : $xy+xz+yz\geq \dfrac{9xyz}{x+y+z}$

Exercice 3

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. $|-2x+5|=2-\sqrt{5}$

b. $|-2x+7|=x+1$

c. $|x-3|<5$

d. $|x+2|\geq 2$

e. $|x-3|-4|=2$

2. Soit $f(x)=|2x+4|-|x-1|+2x$

Écrire $f(x)$ sans la valeur absolue

b. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $f(x)=5$