Devoir mathématique 2nd s

Exercice 1

I. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. $-2x^{2}-5x+7=0$ ; 

2. $4x^{2}-1112x+9=0$ ; 

3. $-5x^{2}-5x-2=0$

2. Soit l'équation $(E)$ : $x^{2}+x-2=0$

a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E)$

b. En déduire les solutions des équations :

$\surd x^{4}+x^{2}-2=0$

$\surd\ x+\sqrt{x}-2=0$

$\surd\ x^{2}+|x|-2=0$

$\surd\ \left(x^{2}-1\right)^{2}+\left(x^{2}-1\right)-2=0$

Soit l'équation $10x^{2}-13x-3=0$

1. Sans calculer le discriminant prouver que cette équation admet deux solutions distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$

2. Sans calculer $x_{1}$ et $x_{2}$, déterminer les valeurs de :

$A=x_{1}+x_{2}$ ; 

$B=x_{11}x_{2}$ ; 

$C=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ ;

$D=\dfrac{x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ ;

$E=\left(2x_{1}-1\right)\left(2x_{2}-1\right)$ ; 

$F=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$

Exercice 2

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$, on donne les points $A(-1\ ;\ 1)$, $B(2\ ;\ -1)$ et $C(3\ ;\ 2)$

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un
parallélogramme.

3. Soit $G(-3\ ;\ -5)$ dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\vec{j}\right)$, déterminer les coordonnées du point $G $dans le repère $\left(A\ ;\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

4. Déterminer les coordonnées du point $A$, $B$, $C$ et $G$ dans le repère
$(A\ ;\ AB\;, AC)$

5. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(-3\ ;\ -2)$
dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

6.a. Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\left(\Delta\right)$

b. Les points $E(5\ ; 5)=$ appartiennent-ils à $(\Delta)$ ? 

Justifier.
 
c. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(\Delta)$ avec les axes du repère.

b. Trouver une équation cartésienne de$(\Delta)$ dans le repère $\left(A\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$

7. Déterminer l'équation réduite de la droite $\left(\Delta'\right)$ perpendiculaire à $\left(\Delta\right)$ et passant par le centre de gravité $P$ du triangle $ABC$ dans $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$