Devoir mathématique 2nd S

Exercice 1 :

1. Donner les identités remarquables suivantes :

$(a+b)^{3}$, $a^{3}+b^{3}$, $(a+b+c)^{2}$

2. Recopier en complétant.

a. Si $x$ et $y$ sont deux réels tels que $y\geq 0$ et $x<0$ alors $\sqrt{x^{2}y}=\ldots\ldots\ldots$

b. La distance entre deux réels $x$ et $y$ notée  $d(x\;,d)$ est définie par $d(x\;,y)=\ldots\ldots$

c. Pour tout réel $x$ et pour réel r positif $|x|> r\leftrightarrow\ldots\ldots$

d. Soit $I=[a\ ;\ b]$

Le centre de cet intervalle est $c=\ldots\ldots$ et le rayon de cet intervalle est $r=\ldots\ldots$

e. $-2\leq x\leq 5\Leftrightarrow|x\ldots\ldots\ldots|\leq \leq\leq\leq$

Exercice 2 

1. Développer réduire et ordonner l'expression suivante : $A=2(4-2x)^{3}-(3x+1)^{3}$

2. Factoriser l'expression suivante $B=\left(a^{3}-b^{3}\right)-ab^{2}+a^{2}b$

3. Simplifier les expressions suivantes :

$D=\dfrac{9^{3}(-25)^{3}(-8)}{(-10)^{2}(-15)^{-3}(-6)^{-4}}$

2.a. Montrer que pour tout $n$ positif :

$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

b. En déduire $S=\dfrac{1}{\sqrt{2}+11}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{19}+\sqrt{18}}+\dfrac{1}{\sqrt{20}+\sqrt{19}}$

Exercice 3 : 

1.Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

a. $|3x-1|=1-\sqrt{2}$

b. $\sqrt{x^{2}-4x+4}=|x-5|$

c. $|4x-1|=-x+4$

d. $|-3x+1|+|x+1|=2$

e. $|3x-4|\leq 1$

Exercice 4 

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que :

$x=\sqrt{17-12\sqrt{2}}$ et $y=\sqrt{17+12\sqrt{2}}$

1. Calculer $x\times y$

2. On pose $p=x+y$ et $q=x-y$

a. Déterminer le signe de $p$ et $q$ 

b. Calculer $p^{2}$ et $q^{2}$

En déduire les valeurs de $p$ et $q$

d. Donner une écriture simplifiée de $x$ et $y$