Devoir mathématique - Ts1

Exercice 1 :

Énoncer de manière concise et précise :

1.le théorème de Roll

2. le théorème des accroissements finis

3. le théorème des accroissements finis généralisés

4. le théorème de l'inégalité des accroissements finis

Exercice 2 : 

les parties $A$ et $B$ sont indépendantes

Partie A

On considère la fonction $f_{n}$ définie par : 

$f_{n}(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2}-4x+3}-\sqrt{3}+\dfrac{1}{4}&\text{si }&x&\geq&0\\ \sum_{k=0}^{n}\dfrac{\tan\left(\dfrac{x}{k+2}\right)-\tan\left(\dfrac{x}{k+3}\right)}{x\left(1+\tan\left(\dfrac{x}{k+2}\right)\tan\left(\dfrac{x}{k+3}\right)\right)}&\text{si }&x&<&0 \end{array}\right.$

1. Montrer que $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$, ou $a$ et $b$ sont des réels.

2. Montrer que $\lim\limits_{x\longrightarrow o^{-}}f_{n}(x)=\dfrac{n+1}{2n+6}$

3. Démontrer l'entier naturel $n$ pour que $f_{n}$ soit continue en $0$

Partie B

Soit $f\ :\ \left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\rightarrow\mathbb{R}$

$x\longmapsto \tan x$

1. Montrer que $f$ admet une bijection réciproque que l'on notera $\arctan t$

2. Soit $g$ la fonction définie par $g(t)=\arctan t$

Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et^$\forall t\in\mathbb{R}\;, g'(t)=\dfrac{t}{1+t^{2}}$

3. Soit $x>0$

En appliquant le théorème des accroissements finis à $g$ sur $[0\ ;\ x]$,montrer qu'il existe un $c\in]0\ ;\ x[$ tel que $\dfrac{\arctan x- x}{x^{2}}\leq 0$ puis déterminer $\lim\limits_{x\longrightarrow 0^{+}}\dfrac{\arctan x -x}{x^{2}}$

Problème :

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle  $[0\ ;\ 1]$ par $f(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$

$C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\vec{j}\right)$

Unité graphique : $2\,cm$

Partie A :

1.a. Montrer que $f$ réalise une bijection de $[0\ ;\ 1]$ vers $[0\ ;\ 1]$

On note $f^{-1}$ sa bijection réciproque

b. Calculer $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f'\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

2.a. Montrer que $f^{-1}$ est dérivable sur $[0\ ;\ 1]$ et calculer $\left(f^{-1}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)$

b. Montrer que $\forall x\in[0\ ;\ 1[\;,\left(f^{-1}\right)^{'}(x)=\dfrac{2}{\pi\sqrt{1-x^{2}}}$

3. Tracer $\left(C_{f}\right)$ et $\left(C_{f}^{'}\right)$ dans le même repère.