Devoir mathématique - TS1

Exercice 1

Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré supérieur à $2$ vérifiant, pour tout $x$ réel :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(x)&=&(x-2)Q_{1}(x)-5\\ P(x)&=&(x+4)Q_{2}(x)+7 \end{array}\right.\text{ où }Q_{1}\text{ et }Q_{2}\text{sont des polynômes à coefficients réels.}$

Déterminer le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x^{2}+2x-8$

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations ci-dessous.

a. $\sqrt{4x^{2}-9x+2}=x-2$

b. $\sqrt{x+3}+\sqrt{-2x+6}=3$

2.  Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations ci-dessous.

a. $\sqrt{5x^{2}+x-9}<2x+1$

b. $\left|-x^{2}+6x\right|\geq 2x+5$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$
le système d'équations ci-après.

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x-7\sqrt{y}-\dfrac{1}{z-1}&=&-12\\ x+4\sqrt{y}+\dfrac{2}{z-1}&=&-3\\
-4x+\sqrt{y}-\dfrac{6}{z-1}&=&36 \end{array}\right.$

Exercice 3

$ABC$ est un triangle, on note $AB=c$, $AC=c$, $BC=\alpha$ et $G=\text{bar} \lbrace(A\;,1)\;,(B\;,-1)\;,(C\;,2)\rbrace$

1. Construire $G$

2. Calculer en fonction des réel $a$, $b$ et $c$

a. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}$

c. $GA^{2}$, $GB^{2}$ et $GC^{2}$

3. Soit la fonction scalaire $f$ telle que $f(M)=MA^{2}-MB^{2}+2MC^{2}$

a. Montrer que $f(M)=2MG^{2}+GA^{2}-GB^{2}+2GC^{2}$

b. b. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $f(M)=b^{2}+a^{2}$