Devoir mathématique - Ts2

Exercice 1 

On considère la fonction polynôme ݂ définie pour tout réel $f$ par : $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-1$

1. Étudier les variations de

2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique ߙ dans $\mathbb{R}$ telle que :$ 1,6<\alpha<1.7$

3. En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$

Exercice 2 :

Soit $\alpha$ une fonction dont le tableau complet des variations est le suivant :

1. Préciser l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f$

2. Déterminer les limites aux bornes de $D_{f}$

3. On suppose que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$

a. En utilisant les données du tableau démontrer que : $f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{7}{2}+\dfrac{2}{x+1}$

b. Montrer que le point $I(-1\ ;\ -4)$ est centre de symétrie de $(C)$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2}-2x}-x&\text{ si }&x&<&0\\ \dfrac{-x^{3}}{x^{2}-3x+3}&\text{si }&x&\geq & 0 \end{array}\right.$

On note par $\left(C_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$

2. a. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$

b. Montrer que $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$ admet deux asymptotes obliques $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ 

3. Étudier la continuité de ݂ en $0$ 

4. a. Étudier la dérivabilité de ݂ en $0$

b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus