Devoir mathématique - Ts2

Exercice 1

Recopier et compléter :

a. Si $f$ est $\ldots\ldots$ sur un intervalle $[a\;,b]$ et s'il existe de réels $m$ et $M$ tels que $\forall x\in[a\;,b]$, $m\leq f'(x)\leq M$ alors $m(\ldots)\leq f(b)-f(a)\leq\ldots$

b. Si $f$ est $\ldots\ldots$ sur un intervalle $[a\;,b]$ et si $\ldots$ alors l'équation  $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[a\;,b]$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes

a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 1}\dfrac{x^{3}+2x-3}{x^{2}+2x-3}$

b. $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}\dfrac{x^{3}+1}{(x-1)^{3}}$

c. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\left(x+\sqrt{2x^{2}-x+2}\right)$

d. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\dfrac{x\sin x}{x^{2}+1}$

e. $\lim\limits_{x\longrightarrow\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x-\cos x}{x-\dfrac{\pi}{4}}$

Exercice 3

Soit la fonction définie $g$ par : $g(x)=2x^{3}-3x^{2}-5$

1. Dresser le tableau de variation de $g$

2. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ et que $2<\alpha <3$

3. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$

Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{2x^{2}-x+1}{x+1}&\text{si }&x&\geq& 1\\ 1-\sqrt{2-2x}&\text{si}&x&<&1 \end{array}\right.$

1 Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f$

2. Étudier la continuité de $f$ en $1$

3. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$

Interpréter graphiquement les résultats obtenus. 

4. Montrer que la courbe $\left(C_{f}\right)$ admet au voisinage de +∞ une asymptote $(D)$

5. Étudier la branche infinie de la courbe $\left(C_{f}\right)$ au voisinage de $-\infty$