Devoir mathématique - Ts2

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes : 

A : $x^{3}+6x-7=0$ ; 

B : $\sqrt{111-x}=x-5$ ; 

C : $\sqrt{111-x^{3}-6x}=x^{3}+6x-5$

D : $\sqrt{x+2}\leq x$

2. Résoudre par la méthode de pivot de Gauss le système suivant : 

$(S)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&9\\ x-y+z&=&3\\ x+y-z&=&1 \end{array}\right.$

Un fabricant de meuble produit des tables et des chaises. Chaque table nécessite $3$ heures de travail et $2$ unités de bois, tandis que chaque chaise nécessite $2$ heures de travail et $1$ unité de bois. 

Le fabricant dispose de $240$ heures de travail et $120$ unités de bois par semaine. 

Il gagne $40$ euros par table et $30$ euros par chaise. 

Déterminer le nombre de tables et de chaises que le fabricant doit produire pour maximiser son profit .

Exercice 2

Soit l'application $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=3x^{2}-x-10$

1. Écrire $f(x)$ sous la forme canonique .

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

$E1\ :\ f(x)=0$ ; 

$E2\ :\ f(x)=-11$

2. L'application $f$ est-elle injective ? 

surjective ? 

Justifier.

3. Détermine l'image directe par de $f$ de $[0\ ;\ 2]$ puis l'image réciproque par $f$ de  $[-4\ ;\ 4]$ 

4. Déterminer deux plus grands ensembles $A$ et  $B$ de $\mathbb{R}$ , pour que la restriction de $f$ dans $A$ soit bijective de $A$ de vers $B$

Donner l'expression de sa bijection réciproque. 

Exercice 3. 

Soit l'équation paramétrique $(E)=(m-1)x^{2}-2(m+1)x+m+2=0$

1. Discuter suivant les valeurs du paramètre $m$ l'existence et le signe des racines de $(E)$

2. Déterminer les valeurs de $m$ tels que $(E)$ admet deux racines $x'$ et $x"$ vérifiant $x'<x"<2$

Exercice 4 :

On considère la courbe ci-dessous de l'application $f$

Déterminer l'image directe par $f$ de l'intervalle [-4; 4] $[-4\ ;\ 4]$ puis l'image réciproque par $f$ de l'intervalle $[1\ ;\ 2]$

Résoudre les opérations suivantes

1. $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=2$

2. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&6\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}&=&14\\ x^{3}+y^{3}+z^{3} \end{array}\right.$