Devoir mathématique - TS2

Exercice 1

1. Énoncer clairement les théorèmes suivants.

a. Théorème des valeurs intermédiaires.

b. Théorème de la bijection.

c. Théorème de l'inégalité des accroissements finis $(TIAF)$

Déterminer les limites suivantes :

a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}$

b. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\sqrt{
x}$

c. $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}\dfrac{2x+\sin x}{x-1}$

d. $\lim\limits_{x\longrightarrow \dfrac{\pi}{4}\dfrac{2\cos x-\sqrt{2}}{4x-\pi}}$

Soit f la fonction définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$

a. Montrer que pour tout $x\leq t\leq x+1$ et $x > 0$
$$\dfrac{1}{2\sqrt{2+1}}\leq \sqrt{x+1}-\sqrt{x}\leq \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$

a. Répondre par vrai ou faux à l'affirmation suivante : 

Toute fonction définie sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$

b. En utilisant les formules de duplication, démontrer que : 

$\cos^{4}x=\dfrac{1}{8}\cos(4x)+\dfrac{1}{2}\cos(2x)+\dfrac{3}{8}$

En déduire la primitive $F$ de la fonction $f(x)=\cos^{4}x$ qui prend la valeur $0$ en $\dfrac{\pi}{2}$

Exercice 2

Soit la fonction $f$, de courbe représentative $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$ et de tableau de variation suivant.

1. Préciser le domaine de définition $\mathbb{D}_{f}$ de $f$ et et les limites aux bornes de $\mathbb{D}_{f}$

2. Préciser le domaine de dérivabilité de $f$ 

3. Préciser les asymptotes et les extrémums à la courbe $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$

4. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ et de l'équation $f(x)=5$

5. $f$ est-elle dérivable au point d'abscisse $4$ ? 

Justifier 

6 La restriction $g$ de $f$ à l'intervalle  $I=]2\ ;\  $ est-elle bijection ? 

7. Quel est le signe de $f$ sur l'intervalle  $[-3\ ;\ 2]$

8. la courbe $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$
coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

9. Calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}f\left(\dfrac{1}{x}-1\right)$, $\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}f\left(x^{2}-x\right)$, $\lim\limits_{x\longrightarrow 2^{+}}\dfrac{-3}{f(x)+2x}$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow -3^{+}}\dfrac{1}{\sqrt{f(x)-5x}}$

Problème

Partie A

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{x^{2}-2x}{x-1}&\text{ si }x&<&0\\ x+\sqrt{x^{2}+x}&\text{ si }&x&\geq& 0 \end{array}\right.$ et $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

1. Déterminer l'ensemble de définition $\mathbb{D}_{f}$ et $f$

2. Déterminer les limites aux bornes de $\mathbb{D}_{f}$ 

3. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $0$

Interpréter les résultats obtenus.

4. Montrer que $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$ admet en $-\infty$ une asymptote oblique la droite $\Delta_{1}$ dont on déterminer son équation. 

b. Étudier la position relative de par rapport à $\Delta_{1}$ sur $]-\infty\ ;\ 0[$

5. Étudier la nature de la branche infinie en $+\infty$

6. Préciser l'ensemble de dérivabilité de $f$ puis calculer $f'(x)$ sur chaque intervalle où $f$ est dérivable. 

7. Dresser le tableau de variation de $f$

8. Préciser les points d'intersection de $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$ avec les axes du repères

9 Construire la courbe $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$

Partie B

Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=[0\ ;\ +\infty[$

1. Montrer que h réalise une bijection de $I$ dans un intervalle $J$ à préciser. [ 

2. La bijection réciproque $h^{^{-1}}$

est-elle dérivable dérivable sur $J$ ?

3 Calculer $h\left(\dfrac{4}{5}\right)$ puis

$\left(h^{-1}\right)'(2)$

4. Construire $\left(\mathbb{C}_{h-1}\right)$ la courbe représentative de $h^{-1}$ dans le même repère. 

5. Exprimer $h^{-1}(x)$pour tout $x\in J$