Devoir n° 1 de mathématique premier - 1S1

Exercice 1

Soit un entier $n\geq 1$

a. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que le polynôme $ax^{n+1}+bx^{n}+1$ soit divisible par $(x-1)^{2}$

b. Trouver le quotient de la division.

2. Soit $P$ un polynôme tel que $\deg(P)\leq 3$

On suppose que $P(x)$ est divisible par $(x-1)$ et a le même reste le réel $r$ dans les divisions euclidiennes par $(x-2)$, $(x-3)$ et $(x-4)$

a. Montrer qu'ils existe une constante $\lambda$ telle que $r=6\lambda$

b. En déduire que $P(x)=\lambda(x-1)\left(x^{2}8x+18\right)$

Exercice 2

1. Résoudre par la méthode le pivot de Gauss le système suivant :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}x+3y-4z&=&1\\x+y+14z&=&3\\ 2x+5y+z&=&3\end{array}\right.$$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et les inéquations suivantes :

a. $\sqrt{3\left(x^{2}-1\right)}<2x-1$

b. $\sqrt{-x+1}+\sqrt{x+3}=2$

c. $\sqrt{x^{2}+6x+6}\geq 2x+1$

Exercice 3

Soit $P(x)=x^{3}+3x^{2}-10x$ un polynôme ayant trois racines $a$, $b$ et $c$

1. Sans calculer $a$, $b$ et $c$ déterminer : $ab+c$, $ab+bc+ac$ et  $a^{2}+b^{2}+c^{2}$

2. En effectuant la division euclidienne de $x^{5}$ par $P(x)$, déterminer deux polynômes $Q(x)$ et $R(x)$ tels que$$x^{5}=P(x)Q(x)+R(x)$$

3. En déduire que : $5^{5}=63a^{2}+118\alpha+456$$

4. Sans calculer $a$, $b$ et $c$ montrer que $a^{5}+b^{5}+c^{5}=813$

5. Sachant que $c=3$, déterminer $a$ et $b$

Exercice 4

1. Soit $Q$ le polynôme défini par :$$Q(x)=x^{2}+(2m+1)x+m^{2}+1$$

a. Résoudre l'équation $Q(x)=0$ suivant les valeurs du paramètre $m$

b. Déterminer la valeur du nombre réel $m$ pour que $Q$ ait deux racines $\alpha$ et $\beta$ telles que $|\alpha-\beta|=1$

c. Pour cette valeur de $m$, calculer $\alpha$ et $\beta$

2. Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ pour que $p(x)=\left(m^{2}+3m\right)x^{2}-2(m+2)x+1$
admet deux racines $x'$ et $x''$ vérifiant : $x'<1<x''$