Devoir n° de la mathématique - 4ème 2024/2025

Exercice 1

1 Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme : $\dfrac{a}{b}$, avec $b$ non nul.

2. La somme : $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$ est égale à : $\dfrac{a+c}{b+d}$

3. Soit $(D)$ la médiatrice du segment $[AB]$, si $M\not\in(D)$ et $M$ est du même côté que $A$, alors $MB >MA$

4. Soient un cercle $C(O\ ;\ r)$, $(\Delta)$ une droite et H un point de $(\Delta)$ tel que $(OH)$ perpendiculaire à $(\Delta)$

a. Si $OH>r$, alors $C(O\ ;\ r)$et $(\Delta$) sont sécants.

b. Si $OH<r$, alors $C(O\ ;\ r)$ et $(\Delta)$ sont disjoints.

c. Si $OH=r$, alors $C(O\ ;\ r)$ et $(\Delta)$ sont tangents.

B. Reproduis et complète le tableau suivant par la lettre correspondante à la bonne réponse : 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Numéro de la question }&1.&2.&3.&4\\ \hline \text{Lettre corespondante}&&&&\\ \text{à la bonne réponse }&&&&\\ \hline \end{array}$

1. Deux nombres $x$ et $y$ non nuls inverses lorsque :

a. $x+y=1$ ; 

b. $x+y=0$ ; 

c. $x\times y=1$

2. Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$, alors

a. $ac=bd$ ; 

b. $bc=ad$ ;

c. $ad=ac$

3. L'encadrement de $-\dfrac{99}{13}$ à $0.01$ près est :

a. $7.61<-\dfrac{99}{13}<7.62$ ; 

b. $-7.61<-\dfrac{99}{13}<-7.62$ ; 

c. $-7.62<-\dfrac{99}{13}<-7.61$

Exercice 2

1. Calcule les expression ci-dessous en donnant les résultat sous forme irréductible:

$A=\dfrac{32}{128}-\dfrac{12}{36}+\dfrac{75}{50}$ ; 

$B=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{10}{3}-\dfrac{2}{4}\times \dfrac{9}{81}$ ;

$C=\dfrac{10^{-5}\times 10^{2}}{10^{-3}\times 10^{-4}}$ ; 

$E=\dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}$

2. Range dans l'ordre croissant les rationnels suivants : 

$\dfrac{1}{2}$ ; 

$\dfrac{7}{10}$ ;

$\dfrac{5}{6}$ ;

$\dfrac{2}{3}$ ;

$\dfrac{7}{12}$ ;

$\dfrac{3}{4}$

Exercice 3 : 

1. Place les points $L$, $O$, $I$ et $J$ dans cette ordre sur une droite $(d)$ tels que : $LO=5\,cm$ ; $OI=4\,cm$ ; $OJ=6\,cm$

2. Construis le cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon $5\,cm$

3. Trace les droites $\left(D_{1}\right)$, $\left(D_{2}\right)$ et $\left(D_{3}\right)$ passant respectivement par les points $I$ ; $J$ et $L$ et perpendiculaires à la droite $(d)$

Quelle est la position relative de chacune de ces droites par rapport au cercle $(C)$ ?

4. On considère deux cercles $\mathbb{C}_{1}\left(A\ ;\ 35\,cm\right)$ et $\mathbb{C}_{2}\left(B\ ;\ 38\,cm\right)$, avec $AB=37\,cm$

Sans construire, précise en justifiant la position des cercles $\left(\mathbb{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathbb{C}_{2}\right)$ 

1. Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux : 

a. Si $a\times b=1$ alors a est l'inverse de $b$

b. Si $x$ et $y$ sont opposés alors $x+y=0$

c. Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $b$ qui est nul.

d. Multiplier ou diviser chaque terme d'un rationnel par un même nombre change le rationnel.

2. Une classe de $3ième$ a un effectif de $30$ élèves.

Au moment de l'orientation $\dfrac{2}{3}$ des élèves demandent une classe de seconde, $\dfrac{1}{10}$ des élèves demande une orientation au lycée professionnel Indique si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux : 

Exercice 4 :

1. Calcule les expressions suivantes et donne les résultats sous forme irréductible

$A=\dfrac{1}{3}\times\left(\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{2}\right)$

$B=\left(\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{2}\right)$

$C=\dfrac{3}{5}-\left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{2}\right)$

2. Donne un encadrement de $M=\dfrac{137}{7}$
au centième près

3. Donne une écriture scientifique de : $0.000248$

Exercice 5 :

On considère deux cercles $\mathbb{C}(O\ ;\ r)$ et $C'(O'\ ;\ r')$

Complète les phrases suivantes.

a. Si $C$ et $C'$ sont disjoints intérieurement, alors $OO'>\ldots\ldots$

b. Si $r+r'=OO'$ ; alors les cercles $C$ et $C'$ sont $\ldots\ldots$

c. Si $C$ et $C'$ sont sécants alors $\left|r-r'\right|<\ldots\ldots<\ldots\ldots$

d. Si les cercles $C$ et $C'$ s ont tangents intérieurement , alors $\ldots\ldots\ldots$

Exercice 6 :

1. Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=4\,cm$ ; $BC=5\,cm$ et $AC=7\,cm$

2. Construis le cercle $(C)$ de centre $A$ et de rayon $3\,cm$, le cercle $\left(C_{1}\right)$ de centre $B$ et de rayon $2\,cm$ et le cercle $\left(C_{2}\right)$ de centre $C$ et de rayon $3\,cm$

3. Donne la position relative des cercles $(C)$ et $\left(C_{1}\right)$ ; $(C)$ et $\left(C_{2}\right)$ ; $\left(C_{1}\right)$ et $\left(C_{2}\right)$ en justifiant ta réponse.