Devoir surveillé n° 1 de mathématique du 1er semestre - 1er S1

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

a. $2x^{2}-12x-5\sqrt{10+4x-x^{2}}+12=0$ ; 

b. $\sqrt{x^{2}-2x-3}\geq 2x-3$ ;

c. $\sqrt{4x^{2}-1}<-4x$ ; 

d. $\sqrt{x+2}=mx+1$  $(m\in\mathbb{R})$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système d'équations suivant : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&0\\
z^{2}+xy+5&=&0\\ xy-2(x+y)&=&-8 \end{array}\right.$

Exercice 2

A. Soit le polynôme $P(x)=x^{4}-x^{3}+ax^{2}+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ des réels.

Déterminer $a$, $b$ et $c$ pour que $P(x)$ soit divisible par $(x-2)^{3}$ puis factoriser $P(x)$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x)<0$

B. 1. Soit $P$ un polynôme de degré $n$

Quel est le degré du polynôme $Q(x)=P(x)-P(x-1)$ ?

2. On considère s'ils en existent des polynômes $f(x)$ tels que : $f(0)=0$ et $f(x)-f(x-1)=x^{k}$

a. Prouver que $f(x)$ est de degré $k+1$

b. Prouver que $f(x)$ est divisible par $x^{2}+x$

c. Déterminer le polynôme $f(x)$ pour le cas $k=3$

d. Déduire en fonction de $n$ la somme : $S^{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}$

Exercice 3

On considère le trinôme du second degré $f_{m}(x)=(m+2)x^{2}+2mx+m+2$ ; $m$ est un paramètre réel.

1 Étudier suivant les valeurs de $m$ l'existence et le signe des racines de $f_{m}$

2. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $f_{m}(x)$ admet deux racines distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ vérifiant: $x_{1}<-3<x_{2}<1$

3. a; Former l'équation du second degré ayant pour solutions :$\left(2x_{1}-1\right)$ et $\left(2x_{2}-1\right)$

b. En déduire $m$ pour que l'on ait : $x_{1}-1=2$

4. Déterminer $m$ pour que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on ait $f_{m}(x)\geq 0$