Devoir surveillé n°1 du 2ème semestre

I / Activités Numériques : 11 pts

Exercice 1 : 4 pts

On donne $A = \dfrac{5 - \sqrt{33}}{4}$. On pose $p = 2(A - 3)$ et $q = \dfrac{A}{1 - A}$.

1. Démontrer que $A^2 = \dfrac{5A + 1}{2}$ (1 pt)
2. Calculer $p$ et $q$ (1 + 1 = 2 pts)
3. Calculer $p \times q$. Que peut-on dire de $p$ et $q$ ? (0,5 + 0,5 = 1 pt)

Exercice 2 : 3 pts

1. Soit le système $\begin{cases}(a+1)x + (b-3)y = 10 \\ (b+2)x - ay + 4 = 0\end{cases}$
   Détermine les valeurs de $a$ et $b$ pour que le couple $(2\,;\,1)$ soit solution du système. (1,5 pt)
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système d'inéquations suivantes : $\begin{cases}2x - y \geq 0 \\ -3x + 9 < 0\end{cases}$ (1,5 pt)

Exercice 3 : 4 pts

Lors de la coupe d'Afrique Tunisie 2004, voici les pays qualifiés pour les quarts de finale et le nombre de buts marqués depuis le début des matchs.

1. Quelle est la population étudiée ? Quel est le caractère ? (0,5 + 0,5 = 1 pt)
2. Sachant que le Sénégal a marqué un but de moins que l'Algérie et que la moyenne des buts marqués est de 7 buts, calculer $a$ et $b$. (1 pt)
3. Représente le tableau en remplaçant $a$ par 5 et $b$ par 4.
   Combien de pays ont marqué moins de 5 buts, au moins 7 buts. (0,5 + 0,5 = 1 pt)
4. Les 56 buts marqués par ces 8 pays représentent les 20 % des buts marqués par l'ensemble des pays participants. Calculer le nombre de buts marqués. (1 pt)

II / Activités Géométriques : (9 pts)

$SABC$ est un tétraèdre régulier dont les faces sont des triangles équilatéraux et sa hauteur est $(SH)$. La droite $(BH)$ coupe $[AC]$ en $I$.

1. Justifie que $I$ est le milieu de $[AC]$ et $BH = \dfrac{2}{3}BI$. (1 + 1 = 2 pts)
2. On donne $BI = 3$ cm. Montre que $AC = 2\sqrt{3}$ et $SH = 2\sqrt{2}$. (1 + 1 = 2 pts)
3. Calculer l'aire totale du tétraèdre $SABC$. (1,5 pt)
4. Calculer son volume. (1 pt)

Soit $I'$ un point de $[SI]$ tel que $II' = 2$ cm. Un plan parallèle à la base de la pyramide de $SABC$ sectionne respectivement $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$ et $[SI]$ en $A'$, $B'$, $C'$ et $I'$.

1. Calculer le coefficient de réduction $k$ (0,5 pt)
2. Calculer $SA'$ (1 pt)
3. Calculer l'aire de $A'B'C'$ (1 pt)

NB : Figure à faire au brouillon