Devoir surveillé n°1 du premier semestre 1er S1

Exercice 1

I. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes

a. $\sqrt{3x^{2}+x+3}=\sqrt{x^{2}+2x}$

b. $\sqrt{2\left(x^{2}-2x+2\right)}\geq x+1$

2. On considère le polynôme $P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$

a. Calculer $P(I)$

b. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$

3. Soit le système $(S)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&6\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}&=&14\\ xyz&=&6
\end{array}\right.$

a. Vérifier que $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)$

b. Montrer que le système $(S)$ est équivalent $\left(S_{1}\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl}
x+y+z&=&6\\ xy+yz+xz&=&11\\ xyz&=&6 \end{array}\right.$

Exercice 2

1. Soit $\left(E_{m}\right)\ :\ (m+1)x^{2}+m x+m-1=0$

a. Pour quelles valeurs de $m$, $\left(E_{m}\right)$ admet elle une racine double ? 

b. Déterminer les racines doubles correspondantes.

c. Existe t-il $m$ pour que $\left(E_{m}\right)$ admette deux racines distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ telles que $x_{1}<1< x_{2}$

2.a. Montrer que l'équation $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+kax+k^{2}=0$ peut être ramenée à une équation du second degré par le changement de variable.

b. En déduire une résolution de $x^{4}-4x^{3}-11x^{2}-12x+9=0$

3. a. Déterminer un polynôme $f$ de degré $3$ tel que : 

$f(x)=0$ et pour tout réel $x$, $f(x)-f(x-2)=x^{2}$
 
b. En déduire les sommes $A=2^{2}+4^{2}+6^{2}+\ldots+\left(2n\right)^{2}$ et $B=3x^{2}+5^{2}+\ldots+(2n+1)^{2}$

4. Soit, $P(x)=(x+1)^{n}+ax+b\;,b\in\mathbb{N}$

Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que le  polynôme $f_{n}(x)$ soit divisible par $(x+1)^{2}$