EXERCICE 1 : 

Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes

a) $f(x) = \sqrt{\dfrac{\sqrt{x + 3 }− 2}{x − 1}}$

b)$f(x) =\sqrt{x-2-\sqrt{x^{2}+3x+1}}$

c)$f(x) =\dfrac{\sqrt{3x^{2} + 1} + 5x}{3x − 1}$

d)$f(x) =\dfrac{\sqrt{3x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2}+x}}-\sqrt{x^{2}+1}} e)f(x) $

EXERCICE 2 :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1) Calculer la distance du point $A$ à la droite $(D)$ dans les cas suivants.

a) $(D): y = −3x + 4$ et $A(3,-1)$ b)$$(D):\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x&=&-2+3t\\
y&=&1-4t
\end{array}\right.\quad\text{et} A\left(^{1}_{3}\right)$$

2) $m$ étant un paramètre réel et soit $(D_{m}):mx-(2x+1)y+m-3=0$

a) Calculer la distance $d( m)$ du point $A(1,1)$ à $(D_{m}$:

b) Déterminer $(D_{m}$ sachant que $(d_{m}=1$.

EXERCICE 3 : 

A) Les restes de la division euclidienne d’un polynôme $P(x)$ par $x-1$ et par $x-2$ sont respectivement
$6$ et $18$. 

Déterminer le polynôme reste de la division de $P(x)$ par $(x-1)(x-2)$.

B) On considère l’équation $(E):x(x+1)(x+2)(x+3)+1=m$,dans laquelle $x$ est l'inconnue et m un paramètre.

1. Montrer que par un changement d’inconnue $X=x^{2}+3x+1$,l'équation se raméne à la forme simple $X^{2}=m$.

2. Résoudre l’équation pour $m=9$

C) Soit l’équation $x^{2} -2mx +3m-2=9$ admettant deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$

Déterminer $m$ tel que l’on ait $x^{2}_{1}+x^{2}_{2}=x_{1}\times x_{2}+4$

D) Soit $f$ une fonction numérique définie sur un domaine $D_{f}$ symétrique par rapport à l’origine $0$.

On pose $h(x) = \dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ et $k(x) =\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$

Etudier la parité de $h$ et $k$

E) On donne $f(x) = \sqrt{5 − x} − sqrt{x − 1}$

Montrer que le point $A(3 ;0)$ est centre de symétrie de $(C_{f})$

F) Résoudrele système suivant 
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x + 3y − 2z& =& 2\\
2x − y + 5z &=& 15\\
−3x + 2y + z &=& −5t
\end{array}\right.$$

EXERCICE 4 :

1. Soit $f :IR → IR_{+}$

$x↦ \dfrac{x}{1+|x|}$

a. Montrer que $∀ x ∈ IR|f(x)| < 1$.

b. $f$ est- elle surjective ? 

c. Montrer que $f$ est injective. 

2. Soit $h$ et $g$ les applications de $IR$ vers $IR$ définies par :$h(x) = x^{3} − 3x^{2} + x + 2$ et $g(x) = x^{2} − x$.

a. Calculer $hog(x)$.

En déduire la résolution de : $x^{6} − 3x^{5} + 5x^{3} − 2x^{2} − x + 2 = 0$

b. Soit $k :\left[\dfrac{1}{2} ; +∞\right] → \left[− \dfrac{1}{4} ; +∞\right[$

EXERCICE 5 

Dans le plan $(P)$ on considère un triangle équilatéral $ABC$. 

On pose $AB = a, a > 0$

Soit $I$ le point du plan défini par $\vec{AI}=2\vec{CB}$

1) Construire le point $I$ puis exprimer $IA^{2}, IB^{2}$ et $IC^{2}$ en fonction de $a$ 

2) Trouver un triplet $(\alpha, \beta, \omega)$ de réels tels que $I$ soit le barycentre de
$(A, \alpha), (B, \beta) $ et $(C, \omega)$

3) $k$ étant un réel donné, Déterminer l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que
$MA^{2} + 2MB^{2} − 2MC^{2} = ka^{2}$

4) Peut-on trouver un réel $k$ tel que le point $B$ soit élément de $(\Gamma)$ ?