EXERCICE 1 : 

1. Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous, choisis la réponse juste en indiquant sur ta
copie, le numéro de l’énoncé suivi de la lettre $A, B$ ou $C$ correspondant à la bonne réponse.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
N°&\text{ Enoncés}&\text{ Réponse A}&\text{ Réponse B}&\text{ Réponse C}\\
\hline
1& \text{Si a est un réel négatif alors} \sqrt{a^{2}} = &a& ⎯ a&\dfrac{ 1}{a}\\
\hline
&EFG \text{est un triangle,} I \text{un point de} (EF)&&&\\
&\text{et} J\text{ un point de} (EG)&\dfrac{EG}{EF} = \dfrac{EJ}{EI}&\dfrac{EI}{EF} = \dfrac{EJ}{EG}&\dfrac{EI}{EG} = \dfrac{EJ}{EF}\\
2&\text{telles que} (IJ) \text{parallèle à} (FG). \text{Alors}&&&\\
&\text{d’après le théorème de Thalès, on a} :&&&\\
\hline
3 &\text{L’équation} (2x − 3)(5x + 4) = 0 \text{a}&S = {2; 3}& S = {\dfrac{3}{2} ; ⎯\dfrac{4}{5}}& S = {2; 5}\\
&\text{pour ensemble de solutions :}&&&\\
\hline
4&\text{ Une expression conjuguée de}&2\sqrt{3} − 5& 2\sqrt{3}& \sqrt{3} − 5\\
&2\sqrt{3} + 5 \text{est} :&&&\\
\hline
5&\text{ Pour tous réels x et y , si}& x= y \text{ou} x = −y&x = y& x = 0 \text{ou} y = 0\\
&|x| = |y| \text{alors}&&&\\
\hline
6&\text{ L’opposé de }\sqrt{5}\text{ est} : &\dfrac{1}{\sqrt{5}}&5& −\sqrt{5}\\
\hline
7&\text{La réciproque du théorème de Thalès}&\text{calculer une}&\text{connaitre la}&\text{montrer le}\\
&\text{permet de}&\text{distance.}&\text{nature d’un}&\text{parallélisme de}\\
&&&\text{triangle.}&\text{droites.}\\
\hline
8&\text{ L’inéquation} x^{2} − 4 ≤ 0 \text{a pour}&S = [−2 ; 2] &S = {−2}& S = {2}\\
&\text{ensemble de solutions}&&&\\
\hline
\end{array}$$

EXERCICE 2 :

A) On donne les réels suivants : $a= \dfrac{\sqrt{3}−1}{\sqrt{2}}$ et $b = \sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$

1. Calcule le produit $a\times b$.

Que peut-on dire des réels $a$ et $b$ ? 

2. Calcule $a^{2}$ et $\dfrac{a}{b}$

b. Que constate-t-on ?

Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Justifie la réponse.

3. On donne les expressions suivantes : $(\sqrt{3} − 1)^{2}$ et (\sqrt{3} + 1)^{2}$.

a. Développe les expressions ci-dessus : 

b. En déduire une écriture simple des expressions : $X = \sqrt{4} − 2\sqrt{3}$ et $Y = \sqrt{4} + 2\sqrt{3}$. 

4. Encadre le réel $C = 4 − 2\sqrt{3}$ à $10^{−2}$ près sachant que $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$. 

B) Problème :

Lors du BFEM $2023$, une classe de troisième présente les statistiques suivantes :

les $\dfrac\dfrac{3}{4}$ des élèves sont admis d’office, les $\dfrac{1}{5}$ de la classe sont admis au second tour et les $3$ autres élèves restant de la classe sont ajournés.

1. Traduis ce problème en une équation en une inconnue. 

2. Détermine l’effectif de cette classe de troisième. 

EXERCICE 3 : 

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tels que $AB = 6 cm, AC = 8 cm$ et $H$ le pied de la hauteur issu de $A$.

1. Construis la figure. 

2. Calcule $BC$ et $AH$. 

3. La parallèle à $(AH)$ passant par $C$ coupe la droite $(AB)$ en $M$.

a. Place $M$ sur la figure.

b. Sachant que $BH = 3,6 cm$, calcule la longueur exacte de $BM$.

c. En déduire la longueur exacte de $AM$.
 
4. Soient $N$ et $L$ respectivement sur les segments $[AC]$ et $[CB]$ tels que $CN = \dfrac{1}{4} CA$ et $CL = 2,5 cm$.

a. Place les points $N$ et $L$ sur la figure ; 

b. Démontre que les droites $(NL)$ et $(AB)$ sont parallèles.