Olympiades ENSAE $\ldots$ mathématiques $\ldots$ édition $2025$

On prendra bien soin de préciser toute notation non donnée dans l'énoncé.

Toute affirmation devra être justifiée.

Il n'est pas interdit d'admettre certains éléments de démonstration (voire des questions entières) afin de ne pas rester bloqué.

Mais ils doivent absolument être mentionnés.

Il est demandé de ne pas recopier l'énoncé, on mettra seulement en évidence les
numéros des questions traitées.

Il est recommandé par contre d'annoncer ce qui va être démontré.

Il sera tenu compte, dans l'appréciation de la copie, de la rigueur, de la précision et de la concision dans les réponses.

Exercice 1

Cet exercice est composé de parties $A$, $B$ et $C$ dans une large mesure indépendantes.

Partie $A$ :

On définit par $A$ l'ensemble des fonctions $f\ :\ [0\;,1]\rightarrow\,\mathbb{R}$ vérifiant les conditions suivantes :

Pour tous réels $\alpha$ et $\beta\in [0\;,1]/\alpha <\beta$, si $f(a)\times f\left(\beta\right)\leq 0$ alors il existe au moins  $\overrightarrow{x}$

$\left[\alpha\;,\beta\right[\text{ tel que }f\left(\overrightarrow{x}\right)=0\quad (1)$

$\bullet\ f(0)=f(1)=0\quad (2)$

$\bullet\ $Pour tous $x$ réel de l'intervalle $\left[0\ ;\ \dfrac{7}{10}\right]\;,f\left(x+\dfrac{7}{10}\right)\rightarrow$ donné par :

$h(x)=f\left(x+\dfrac{3}{10}\right)-f(x)$, pour tout $x\in\left[0\;,\dfrac{7}{10}\right]$

On suppose que $h$ vérifie la condition $(1)$

$(1)$ Montrer que $h(x)$ est de signe constant sur$\left[0\;,\dfrac{7}{10}\right]$

$(2)$ Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins sept solutions sur $[0\;,1]$

Parie $B$

Les martiens sont les habitants, en nombre éventuellement infini, de la planète Mars.

Vis à vis d'eux-mêmes et de leurs semblables, les martiens sont capables de ressentir deux types d'émotions, qu'ils appellent amour et respect.

Il a été observé que :

$\bullet\ $Chaque martien aime un et un seul martien, et respecte un et un seul martien.

$\bullet\ $Si $A$ aime $B$, alors tout martien qui respecte $A$ aime également $B.$

$\bullet\ $Si $A$ respecte $B$, alors tout martien qui aime $A$ respecte également $B.$

$\bullet\ $Chaque martien est aimé d'au moins un martien.

Pour chaque martien $x$ , on désigne respectivement par $f(x)$ et $g(x)$ les martiens aimés et respectés par $x$

1. Montrer que les fonction $f$ et $g$ sont bien définies de l'ensemble $X$ des martiens sur lui-même

2. Montrer que $f[g(x)]=f(x)$ et $g[(x)=g(x)$ pour tout $x$ dans $X.$

3. Montrer finalement que, pour tout $x$, on a $f(x)=g(x)=x$

4. Conclure !

Partie $C$

Soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, $_{1}$, $m_{2}\;,\ldots$, $m_{n}$ des réels et $\mathrm{e}_{1}$, $\mathrm{e}_{2}$, $\ldots\ldots$, $\mathrm{e}_{n}$ des réels strictement positifs, on a :$$\dfrac{m_{1}^{2}}{\mathrm{e}_{1}}+\dfrac{m_{2}^{2}}{\mathrm{e}_{2}}+\ldots+\dfrac{m_{n}^{2}}{\mathrm{e}_{n}}\geq \dfrac{\left(m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}\right)^{2}}{\mathrm{e}_{1}+\mathrm{e}_{2}+\ldots +\mathrm{e}_{2}}$$

Cette inégalité est connue sous le nom de l'inégalité des Mauvais Élèves $(IME)$
En appliquant $l'IME$, montrer que :

1. Si $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ sont $n$ réels strictement positifs alors :

$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\ldots+\dfrac{1}{a_{n}}\geq \dfrac{n^{2}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}$

2. Si $a$, $b$ et $c$ sont $3$ réels strictement positifs alors : $\dfrac{a}{a+2c}+\dfrac{b}{b+2a}+\dfrac{c}{c+2b}\geq 1$

3. Si $x$, $y$ et $z$ sont réels strictement positifs tels que : $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{x+1}=1$ alors $xyz\geq 8$

Exercice 2

On considère la figure suivante où $ABMN$ et $ARSC$ sont des carrés construits à partir du triangle $ABC.$

On construit en outre le parallélogramme $ANA'R$

1.a. Démontrer que $\left(AA'\right)$ est une hauteur du triangle $ABC$.

b. Démontrer que $AA'+BC$

2. On considère les parallélogrammes $NARA'$, $QBMB'$ et $SCPC$

a. Justifier que $\left(AA'\right)$ , $\left(BB'\right)$ et $\left(CC'\right)$ sont concourantes.

b. Démontrer que dans un triangle $ABC$, si $M$ désigne le milieu de $[BC]$ alors : $AB^{2}+$

$AC^{2}=2\left(BM^{2}+AM^{2}+AM^{2}\right)$ (Théorème d'Apollonius).
 
c. En déduire que

$NR^{2}+QM^{2}+SP^{2}=3\left(AB^{2}+AC^{2}+BC^{2}\right)$

Exercice 3 :

$\mathbb{R}$ désigne l'ensemble des nombres réels.

Dans ce problème, on cherche à déterminer les applications $f$ définies sur $]0\ ;\ +\infty[$ et à valeurs dans $]0\ ;\ +\infty[$ vérifiant les deux propriétés suivantes :

$\surd $pour tous nombres réels strictement positifs $x$ et $y$, $[xf(y)]=yf(x)$ $\surd $ $f^$ est bornée sur $[1\ ;\ +\infty[$ il existe un nombre réel $A$ tel que pour tout nombre réel $x\geq\,1|f(x)|\leq A$

Partie $I$

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $h$ une application définie sur $I$ et à valeurs dans $I.$

On dit que est $h$ une involution de $I$ si pour tout nombre réel $x$ dans $I$ $h[h(x)]=x$

1. Donner un exemple d'involution de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ autre que l'identité.

2) Donner un exemple d'involution de $]0\ ;\ +\infty[$ dans $]0\ ;\ +\infty[$ autre que l'identité.

3. Montrer qu'une involution de $I$ dans $I$ est bijective

Partie II

Soit $f$ une fonction vérifiant les deux conditions citées au début de l'énoncé.

1. Soit deux nombres réels $y_{1}$, $y_{2}$ strictement positifs tels que $f\left(y_{1}\right)=f\left(y_{2}\right)$ que $y_{1}f(1)=y_{2}f(1)$

2. Montrer que $f$ est injective

3. Montrer que $f[f(1)]=f(1)$ puis que $f(1)=1$

4. Montrer que $f$ est une involution de $]0\ ;\ +\infty[$

5. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs, Montrer que $f(ab)=f(a)f(b)$

Indication : on pourra poser $b=f(y)$

Partie III

On note $F$ l'ensemble des points fixes de $f$ :

$F={x\in]O\ ;\ +\infty[/f(x)=x}$

1. Montrer que pour tout $x\in]0\ ;\ +\infty[\;,xf(x)$ est un élément de $F$

2. Montrer que $1$ est un élément de $F$

3. Montrer que si $x$ et $y$ sont des éléments de $F$, alors $xy$ et $\dfrac{x}{y}$ sont également des élément de $F$

4. Montrer que si $x$ est un élément de $F$, alors que pour tout entier naturel $n$, $x^{n}$ est un élément de $F$

5. Montrer que si $x$ est un élément de $F$, alors $x=1$

Indication : on pourra considérer l'application : $\mathbb{N}\rightarrow\,\mathbb{N}$ définie par $x_{n}=x^{n}$

6. Montrer que $F={1}$

7. En déduire que $f$

8. Donner enfin toutes les applications répondant au problème posé.