Premier devoir de mathématiques - 1er S1

Exercice 1

A. Soit $P(x)=x^{4}+ax^{2}+42x+40$

1. Déterminer le réel $\alpha$ sachant que $P$ admet quatre racines dont la somme des racines est égale à la somme des deux autres. 

2. Factoriser alors $P(x)0$

3. Déterminer les réels $\beta$ et $\theta$ tels que le polynôme

$Q(x)=\beta x^{4}-7x^{3}-\beta x^{2}+\theta x+6$

soit divisible par $x^{2}-2x-3$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\dfrac{P(x)}{Q(x)}\leq $

B. Soit $(x)=(x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1$ avec $n$ un entier naturel strictement positif

1. Factoriser $H(x)=2x=2x^{3}+3x^{2}+x$

2. Montrer que $H(x)$ devise $P(x)$ pour tout $n> 0$

3. Factoriser $P(x)$ pour $n=3$

C. Un polynôme $B(x)$ de degré supérieur a $2$ divisé séparément par $(x-2)$ et $(x+1)$ donne comme restes respectivement $4$ et $7$

a. Justifier que le reste $R(x)$ de la division euclidienne de $B(x)$ par $(x-2)(x+1)$ est de la
forme $R(x)=ax+b$

b. Déterminer $R(x)$

Exercice 2

Soit les polynômes $P(x)=(2x+3)(x+5)$ et $Q(x)=(2x+1)(2x+7)$ et $A(x)=(2x+1)(2x+3)(2x+5)(2x+7)+1$

1. Montrer que $Q(x)=P(x)-8$

2. En déduire un polynôme $B(x)$ tel que $A(x)+15=(B(x))^{2}$

3. Résoudre alors l'équation $A(x)=10$

Exercice 3

I. Résoudre les équations et inéquations dans $\mathbb{R}$ 

a. $\left|x^{2}+2x-3\right|\geq 2x-1$

b. $\sqrt{4x+9}\geq x+1$

c. $\sqrt{4x^{2}-1}<-4x+1$

d. $\sqrt{5-x}<\sqrt{2x^{2}-x-3}$

e. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$ on pourra poser $X=2x^{2}+x$

f. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$

Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ par la méthode du pivot de GAUSS le système suivant

1. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-2y+z&=&6\\ -2x+y-z&=&-6\\ 3x-y-2z&=&-2 \end{array}\right.$

En déduire les solutions du système 

2. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-2y+\left(2z+\sqrt{z}\right)&=&6\\ -2+y-\left(2z+\sqrt{z}\right)&=&-6\\ 3x-y-2\left(2z \sqrt{z}\right)&=&-2 \end{array}\right.$