premier devoir du premier semestre - 1er S1

Exercice 1

1. Soit $P(x)$ un polynôme de degré $n$

Démontrer que si $a$ est racine de $P(x)$ alors il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :

$P(x)=(x-a)Q(x)$ en précisant le degré du polynôme $Q(x)$

2. Soit $n$ une entier naturel non nul

a. Montrer que $P(x)=nx^{n+}-(n+1)x^{2}+1$ est divisible par $x-1$

b. Déterminer le quotient de la division de $P(x)$ par $x-1$

3. Déterminer le reste de la division de $P(x)=(x-2)^{2n}+(x-1)^{n}-1$

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

a. $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}=\sqrt{2x+1}$

b. $\sqrt{2x^{2}+5x-7}\geq x-1$

c. $\sqrt{x^{2}x-1}x+5$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système suivant : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+2}+\dfrac{1}{z}&=&1\\ \dfrac{2}{x+3}+\dfrac{3}{y+2}+\dfrac{1}{x}&=&28\\ \dfrac{4}{x+3}+\dfrac{9}{y+2}\dfrac{1}{z}&=&27 \end{array}\right.$

3. Déterminer le polynôme $P(x)$ du second degré admettant $2$ et$-1$ comme racine et dont le reste dans la division par $x-3$ est $4$

A. On considère le polynôme $P(x)=x^{3}\left(\sqrt{2}+1\right)x^{2}-\left(2+\sqrt{2}\right)x-2\sqrt{2}$

1. Déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que : $P(x)=(x+1)Q(x)$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}P(x)=0$

3. En déduire les solutions de $|x|^{3}+\left(\sqrt{2}-1\right)x^{2}-\left(2+\sqrt{2}\right)|x|-2\sqrt{2}=0$

B. On considère les réels $a$ ; $b$ et $c$ qui vérifient $(S)\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+b+c&=&1-\sqrt{2}\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&7\\ abc&=&2\sqrt{2} \end{array}\right.$

1. Développer $(a+b+c)^{2}$ puis en déduire que $ab+bc+ac=2-\sqrt{2}$

2. Montrer que $P(a)=P(b)=P(c)=0$

En déduire l'ensemble des solutions de $S$

Partie B

Soit $P$ et $Q$ deux polynômes

On appelle $\Delta_{x}$ de $P$ et $Q$, le polynôme $\Delta_{x}(P\;,Q)$ défini par : $\Delta_{x}(P\;,Q)=P(x)-Q(x)$

1. Soit $n$ un entier naturel non nul, soient $P(x)=x^{2n}$ et $Q(x)=2x^{2}-1$

a. Démontrer que $-1$ et $1$ sont des racines de $\Delta_{x}(P\;,Q)$

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de $\Delta_{x}(P\;,Q)$ par $x^{2}-x-2$

c. Factoriser $\Delta_{x}(P\;,Q)$ pour $n=2$

2. Démontrer les égalités suivantes :

a. $\Delta_{x}(P\;,Q)=-\Delta_{x}(Q\;,P)$

b. $\Delta_{x}(-P\;,-Q)=-\Delta_{x}(P\;,Q)$

c. $\Delta_{x}\left[\Delta_{x}(P\;,Q)\;,\Delta_{x}(-P\;,-Q)\right]=2\Delta_{x}(P\;,Q)$

d. $\Delta_{x}\left(P^{2}\;,Q^{2}\right)=\Delta_{X}5P\;,Q)\times\Delta_{x}(P\;,-Q)$

3.On considère l'équation $5(x)$^d'inconnue $t$ :

$E(x)\ :\ t^{2}-2Pt+P^{2}-\dfrac{\Delta_{x}(p\;,Q)}{4}=0$ où $P$ et $Q$ sont deux polynômes à variable $x$

Résoudre $E(x)$ pour $P(x)=x^{2}$ et $Q(x)=2x-1$

Indication : Utiliser si besoin $a^{2}-b^{2}$