Exercice N°1

I. Choisis la bonne réponse
1) Si $\overbrace{a}$ et $\overbrace{b}$ sont deux angles complémentaires, alors $\cos \overbrace{a}$ est égal à : a)$ \cos\overbrace{b}$  b)$ \sin\overbrace{b}$ c)$\tan\overbrace{b}$

2) $DEF$ est un triangle rectangle en $E$. 

Donc $\dfrac{DE}{DF} =$  a)$\tan\overbrace{EFD}$ b)$\cos\overbrace{DEF}$ c)$\sin\overbrace{EFD}$

3) On considère deux angles $\cos\overbrace{A}$ et $\cos\overbrace{B}$ tels que $\overbrace{A} = 90° − \overbrace{B}$. 

Quelle relation a-t-on ? a) $\cos \overbrace{A} = \cos \overbrace{B}$ b) $\cos\overbrace{A} = \sin m \overbrace{B} $ c) $\sin \overbrace{B} = \sin \overbrace{A}$

4) Quelle est la valeur du sinus d’un angle de $60°$ ? a) $\dfrac{1}{2}$ b)$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ c) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
5) $β$ est un angle aigu. 

Si $\cos\beta = \dfrac{3}{4}$ alors : a) $\sin\beta = 0 ,75$ b) $\sin\beta = \sqrt{\sqrt{7}}{4}$ c) $\sin\beta = 0 ,25$

6) Soit $MNP$ un triangle rectangle en $N$ telque $MN=6cm$ et $sin \overbrace{MPN}  = 30°$ .

Quelle est la mesure de $[MP]$? a) $3cm$ b) $12cm$ c) $6cm$

7) Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ tel que $AB=4cm$ et $\sin \overbrace{ CBA} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . 

Quelle est la longueur du segment $[AC]$ ? a) $3\sqrt{2}cm$ b) $2\sqrt{3}cm$ c) $\dfrac{\sqrt{3}}{2} cm$

II. Recopier chacune des affirmations suivantes ci-dessous. 

Dire si elle est vraie $(V)$ ou fausse $(F)$

a) Si sin $x̂ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ alors $\cos(90° − x̂) = \dfrac{√2}{3}$

b) Si $x̂$ est un angle tel que $\cos(x̂) = \dfrac{5}{7}$ alors $\sin(90° − x̂) = 5$

III. Soient la figure suivante :

Exercice N°2

OMN est un triangle rectangle en $O$.

1. Montre que les angles $M̂$ et $N̂$ sont complémentaires.

2. Sachant que, $\cos\overbrace{OMN} = \dfrac{4}{5}$ détermine $\sin\overbrace{OMN}$.

Exercice N°3

$ABC$ est un triangle. $H$ est le pied de la hauteur issue $A$. 

On donne $AH = 4 cm, \overbrace{CAH} = 30°$ et
$\sin \overbrace{ABC} = \dfrac{2}{3}$ . 

Calcule $AB$ et $AC$.

Exercice N°4

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. 

Calcule la mesure de l’angle $\overbrace{ACB}$ au degré près lorsque :
$AC = 10 cm$ et $AB = 4cm$.

Exercice N°5 

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$; l'unité de longueur est le centimètre.

A l'aide des indications données, calculer une valeur approchée de la longueur des deux autres côtés.

a)$\overbrace{ABC}= = 18°$ et $AB = 5cm$. b) $ABC = 32°$ et $AC = 9cm$.

Exercice N°6

Soit $\alpha$ un angle tel que $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . 

Calculer $\cos\alpha$ et $\tan\alpha$.

Exercice N°7

Calcule la valeur exacte de :
$\cos 30° + \cos 30° ; \cos 245° + \sin 230° ; \dfrac{1}{\cos 60°} +\cos 30° ; \dfrac{1}{\cos 60°+\tan 45° };
(\cos 45° + \sin 60°)^{2} ; \dfrac{1}{\tan 60°} ; \sin(30° +30° )$

Exercice N°8

1. Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=8cm$ et $AC=4cm$

2. Soit $H$ le projet orthogonal de $A$ sur $[BC]$.

On donne $AB^{2}=BH x BC$ et $AC^{2}=CH x BC$.

3. Calcule $BH, CH$ puis $AH$

4. La parallèle a $(AH)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $E$. 

Calcule $AE$ puis déduis-en $EC$. 

Calcule sin $E$.

Exercice N°9

$ABC$ est un triangle rectangle en $B. H$ est le pied de la hauteur issue de $B$. 

On note $\alpha$ la mesure de $\overbrace{BCA}$.
On donne : $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3} BH=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et $AC =\sqrt{5}$

1) a. Calcule $\cos \alpha$

b. Déduis en $HC$ et $AB$.

2) Donne un encadrement de $\overbrace{BCA}$ sachant que : $2,236< \sqrt{5}< 2,237
\tan 47° = 1,0772 ; \tan 48° =1,111 ; \tan 49°= 1,150 ; \tan 50° =1,192$

3) Une droite $(d)$ parallèle à $(BC)$ passant par $H$ coupe $[AB]$ en $E$.

b. Compare les mesures des angles $\overbrace{EHA}$ et $\overbrace{BCA}$

c. En déduire que $\dfrac{BC}{AB} =\dfrac{EH}{EA}$.

Exercice N°10

a) Sachant que $\cos x = 0,6$ calculer $\sin x$ et $\tan x$ en utilisant les relations entre $\cos x, \sin x$ et $\tan x$.

b) Développe et réduis l’expression suivante $(\cos x + \sin x)^{2} + (\cos x - \sin x)^{2}$

c) Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.

Exprimer $\sin\overbrace{ABC}$ en fonction $AH$ et $AB$ puis $\sin\overbrace{BCA}$ en fonction de $AH$ et $AC$.

En déduire que $\dfrac{AH^{2}}{AB^{2}} + \dfrac{AH^{2}}{AC^{2}} = 1$ puis que $\dfrac{1}{AB^{2}}  + \dfrac{1}{AC^{2}}  = \dfrac{1}{AH^{2}}$

Exercice N°11

Tracer un demi – cercle $C$ de diamètre $AB = 10cm$ et placer $M$ sur $C$ tel que $AM = 6cm$.

1. Nature de $AMB$ ? Justifier.

2. Calculer $\cos\overbrace{MAB}$ et $\sin\overbrace{MBA}$.

3. Déterminer graphiquement une mesure approchée de $\overbrace{MAB}$ et de $\overbrace{MBA}$

Exercice N°12

On considère le schéma ci- dessous.

Le cercle $(C)$ est un cercle de centre $O$ et de diamètre $BF = 4cm$. 

$A$ est un point du cercle $C$ tel que $AB = 2,4 cm$ ; la perpendiculaire à la droite $(AF)$ passant par $O$ coupe le segment $[AF]$ en $E$.

1. Justifie que le triangle $ABF$ est rectangle en $A$.

2. Calcule $\sin\overbrace{AFB}$ puis déduis-en la mesure en degré de
l’angle $\overbrace{AFB}$ à un $1^{°}$ près par excès. 

Déduis-en $\cos\overbrace{FBA}$ .

3. Calcule la longueur $AF$ ; puis celle de $EF$.

4. En utilisant $\tan\overbrace{AFB} $, calcule la longueur $EO$ à $0,1$ près.

Exercice N°13 BFEM 2004

1) Tracer un demi – cercle $C$ de centre $O$ et de diamètre $AB$ tel que $AB = 2r$.

Soit $M$ un point du demi – cercle $C$ plus proche de $B$ que de $A$. 

Quelle est la nature du triangle $AMB$ ?

Justifier.

2) Soit $a$ et $b$ les mesure en degrés respectivement des angles $\overbrace{BAM}; \overbrace{BAM} $ et$ C$ le pied de la hauteur du
triangle $AMB$ issue de $M$.

a°/Donner deux expressions différentes de $\cos a$.

b°/ En déduire que : $AC = AM \cos a$ et $AM^{2} = AB x AC$.

c°/ On sait que $AC = AO + OC$. 

Exprimer $OC$ en fonction de $\cos b$. 

En déduire que $AC = r (1 + \cos b)$

d°/ Déduire des questions précédentes que $\cos^{2} = \dfrac{1+\cos b}{2}$

Exercice N°14 BFEM 2005

1° a°/ Construire un cercle $(C)$ de centre $I$ et rayon $4 cm$. 

$A$ et $B$ sont deux points de $(C)$ diamétralement opposés. 

Placer un point $M$ sur $(C)$ tel que $AM = 4 cm$.

b°/ Quelle est la nature du triangle $AMI$ ?

c°/ En déduire la mesure de l’angle $\overbrace{BIM}$.

2°/ $K$ est le point d’intersection de la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $I$ et la droite $(AM)$.

a°/Justifier que $AMB$ est un triangle rectangle.

b°/En remarquant que $\cos\overbrace{BIM}=\cos\overbrace{KAI}$, calculer $AK$ et $ KI$.

3°/Le point $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$.

a°/Calculer $\cos\overbrace{B}$, de deux manières différentes.

b°/ Exprimer $BH$ en fonction de $\cos\overbrace{B}$ puis démontrer que $BH =\dfrac{BM^{2}}{AB}$

4°/Placer le point $E$ sur le segment $[AM]$ tel que $AE = 3 cm$.
La parallèle à $(IM)$ passant par $E$ coupe le segment $[AI]$ en $F$.

Quelle est la nature du triangle $AEF$ ?