Exercice N°1 

Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse

1. Si $ABCD$ est un parallélogramme alors : $\vec{AB} + \vec{BC} =\vec{DB}$

2. Si $E, D$ et $F$ sont trois points distincts du plan d’après la relation de Chasles on a : $\vec{DE} + \vec{DF}= \vec{EF}$

3. Le vecteur $\vec{AB} − \vec{AC} − \vec{CB}$ est un vecteur nul.

4. Si$ ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$ alors : $\vec{AB} + \vec{AD} = 2\vec{OC}$

5. Si $\vec{AE} = \vec{RS}$ alors les segments $[AS]$ et $[RE]$ ont le même milieu.

Exercice N°2

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les propriétés de l’addition vectorielle utilisées.

$\vec{E}_{1} = \vec{AB} − \vec{EG} + \vec{BC} + \vec{FG} − \vec{FE} +\vec{0} − \vec{AC} ; \vec{E}_{2}= 5\sqrt{3}\vec{AB} − 2\sqrt{2}\vec{DC} − 2\sqrt{3}\vec{BA} − 5\sqrt{2}\vec{DC}$

$\vec{E}_{3} = \vec{AB} + \vec{CE} +\vec{BC} + \vec{EF} ; \vec{E}_{4} = \vec{AB}+ \vec{DE} +\vec{BA} + \vec{EG} ; \vec{E}_{5} = \vec{AB} − \vec{BC} − \vec{AB} +\vec{BE}$

$\vec{E}_{5} = \vec{CF} + 7\vec{EF} − 5\vec{CF} − 3\vec{EF} ; \vec{E}_{6} = −3(5\vec{AB} ) + 4(2\vec{AB}); \vec{E}_{7} = −2\vec{AB} + \vec{AB} − \dfrac{1}{3}\vec{AB}$

Exercice N°3

1. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan vérifiant : $2\vec{u} + 3\vec{v} = \vec{0}$. 

Montre que les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

2. Soit $A ; B$ et $C$ trois points du plan tel que $\vec{AB} = 2\vec{AC}$.

Soit $\vec{W}$ un vecteur du plan vérifiant : $\vec{W} = 2\vec{AB} + \vec{BC}$. 

Démontre que les deux vecteurs $\vec{W}$ et $\vec{AB}$
sont colinéaires.

Exercice N°4

$EFG$ est un triangle.

1) Construis le point $P$ tel que $\vec{EP} = 3\vec{EF} − 2\vec{EG}$.

2) Exprime le vecteur $\vec{FP}$ en fonction des vecteurs $\vec{EF}$ et $\vec{EG}$.

3) Démontre que les points $F, P$ et $G$ sont alignés.

Exercice N°5

$ABC$ est un triangle tel que : $AB= 3cm ; AC = 4cm$ et $BC = 5cm$.

a) Construis le point $E$ tel que : $\vec{AE} = \vec{BC}$

b) Construis le point $H$ tel que : $\vec{AH} = \vec{AB} + \vec{AC}$

c) Démontrer que $C$ est le milieu du segment $[EH]$.

d) On considère le point $K$ milieu du segment $[BC]$. 

Démontrer que pour tout point $M$ du plan,
$2\vec{MK} = \vec{MB} + \vec{MC}$.

Exercice N°6 BFEM 1995

1. On considère un segment $[AB]$ de milieu $I$, démontre que pour tout point $M$ du plan,
$\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$.

2. $ABC$ est un triangle, on suppose qu’il existe un point $H$ te que $\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC} = \vec{0}$.

En utilisant I milieu de $[AB]$,démontre que $H$ est le milieu de $[IC]$

Exercice N°7 

Soit $ABC$ un triangle tel que : $AB= 2cm ; AC= 3cm$ et $BC= 4cm$.

1. Construire le point $M$ tel que : $\vec{AM} = 3\vec{AB} + 2\vec{CA}$

2. Construire le point $M$ tel que :$\vec{AN} = \vec{AB} + \dfrac{2}{3}\vec{CA}$

3. Montrer que : $\vec{AM} = 3\vec{AN}$. 

En déduire que les points $A, M$ et $N$ sont alignés.

Exercice N°8 BFEM 2003

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 5 cm ; AC = 6 cm$ et $BC = 7 cm$. 

Soit $I$ le milieu de $[BC]$.

1) Construire $G$, le centre de gravité du triangle $ABC$.

2) Sachant que $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}=\vec{0}$ , Démontrer que pour tout point $M$ du plan, on a :
$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}$.

Exercice N°9

Soit un parallélogramme $ABCD, I$ le symétrique du point $B$ par rapport au point $A$ et $J$ l’image du point $C$ par la translation de vecteur $\vec{DC}$.

1. Compare en justifiant les vecteurs $\vec{IA}$ et $\vec{AB}$ et les vecteurs $\vec{DC}$ et \vec{CJ}$.

2. En déduire la nature du quadrilatère $IAJC$.

3. Soit le point $G$ tel que $\vec{CG} = \vec{BC}$ .

Démontrer que $\vec{DG} = \vec{BJ}$ . 

En déduire la position des points $I, D$ et $G$.

Exercice N°10

$ABC$ est un triangle et $G$ le point du plan tel que : $\vec{AG} + \vec{BG} + \vec{CG} = \vec{0}$.

1. Montrer que le point $G$ est unique.

2. Construire le point $G$.

3. Soit $I$ milieu de $[AB]$ ; montrer que : $\vec{IG} = \dfrac{1}{2}\vec{GC}$.

$ABC$ est un triangle quelconque, les points $D$ et $F$ sont tel que : $\vec{AD}=\vec{BC} − 2\vec{BA}$ et $\vec{CF}=\vec{AB} − 2\vec{AC}$

1. Démontrer que : $\vec{AD}=\vec{AC} + \vec{AB}$ puis $\vec{CF}=\vec{CB} + \vec{CA}$

2. Construire les points $D$ et $F$.

3. En déduire que le point $B$ est le milieu du segment $[DF]$.

1. Construire un triangle $ABC$, tel que : $AB=5c    m ; BC=6cm$ et $AC= 3cm$.

2. On pose : $\vec{U} = \vec{AB}$ et $\vec{V} = \vec{AC}$ Construire $\vec{U} + \vec{V}$

3. Placer le point $E$, tel que : $\vec{AE} = \vec{U} + \vec{V}$ et partage le segment $[AE]$ en $3$ parties égales.

4. On pose $\vec{W} = \vec{BC}$ Construire $\vec{U} + \vec{V⃗} + \vec{W}$

5. Soit $G$ un point du plan, tel que: $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.

Montrer que $\vec{AG} = \dfrac{\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$ puis construire $G$.