Exercice N°1

1. On donne les vecteurs $\vec{u}(m ; n)$ et $\vec{v}(m’ ; n’)$ dans un repère $(0, I, J)$. 

Recopie et complète :

a- Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ équivaut à $m … . − … .x … … = 0$

b- Le vecteur $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées (………….… ; ……………)

c- Le vecteur $\vec{e} = −3 \vec{v}$ a pour coordonnées (………….… ; ……………)

2. Choisis la bonne réponse.

a- Soit $y= 2x − 1$, l’équation réduite de la droite $(D)$. 

Un vecteur directeur de $(D)$ a pour couple de
coordonnées : a) $(1; 2)$; b) $(2; 2)$; c)$ (−2; 1);$

b- Si $(D) :y = 2x − 7$ et $(D’) y = mx + p$ sont perpendiculaires, alors
a) $2m = −1$; b) $m = −2$; c) $m = 2$

c- Soit la droite d’équation $(L) : 2x + y − 1 = 0$. 

L’équation réduite de cette droite est :
a) y = 2x + 1 b) y = −2x + 1 c)y = −2x − 1

3. Pour chacune des énoncés, une seule réponse est juste. 

Relève sur ta copie le numéro de l’énoncé suivie de la réponse choisie.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} 
\hline
N& \text{Enoncés}& \text{Réponse A}& \text{Réponse B}& \text{Réponse C}\\
\hline                                                                                                                                                                                                                                                                             1&\text{ Le plan est muni d’un repère orthonormé}.&(D)\text{et} (D′) \text{son}t&(D)\text{et} (D′)&(D)\text{et} (D′) \text{sont}\\
&\text{Quelle est la position relative des droites }(D)&\text{perpendiculaire}&\text{sont parallèle}&\text{sécantes mais non}\\
&et (D’) \text{de coefficients directeurs respectifs}&&&\text{perpendiculaire}\\
&m = \dfrac{3}{2} \text{et} m′ = −\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{18}} ?&&&\\                                                                                                                                                                                  \hline
2& \text{Soient} \vec{u} (−3; 1)et \vec{v}(2; y) \text{deux vecteurs du}&&&\\
&\text{plan. Pour quelle valeur de} y \text{les vecteurs }\vec{u} \text{et} &y = − \dfrac{2}{3}& y = − \dfrac{3}{2}&y = −6\\
&\vec{v}  \text{sont-ils colineaires} ?&&&\\
\hline
3& \text{Dans un repère orthonormal, pour quelles}&n = 1&n = 4&n = 2\\
&\text{valeurs de} n \text{les vecteurs}\vec{u}  (n; 1)\text{et} \vec{v} (n; −4)&\text{ou}&\text{ou}&\text{ou}\\
&\text{sont-ils colinéaires }?&n = −4&n = −4&n = −2\\
\hline
\end{array}$$

Exercice N°2

Dans le plan muni d’un repère $(O ; \vec{i} ; \vec{j} )$.

On donne : $A(−1; 3) ; B(7; −6) ; C(x; y)$ et $D(−3; 4)$

1) Déterminer les coordonnées de $\vec{AB}$ et de $2\vec{AB}$ .

2) Déterminer les réels $x$ et $y$ pour que $\vec{CD} =2\vec{AB}$.

3) Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que:$ \vec{AM} = − \dfrac{1}{2}\vec{BD}$.

Exercice N°3

1) Soit $\vec{MN}\left(^{a−5}_{3}\right)$ et $\vec{KH} \left(^{a+7}_{−3}\right)$ deux vecteurs dans un repère $(O ;I ;J)$. 

Déterminer a pour que $\vec{MN}$ et $\vec{KH}$ soient colinéaires.

2) Soit $\vec{QT}\left(^{4}_{5}\right)$ et $\vec{UV}\left(^{m−3}_{m+2}\right)$ deux vecteurs dans un repère $(O ;I ;J)$. 

Déterminer $m$ pour que $\vec{QT}$ et $\vec{UV}$ soient orthogonaux.

3) $a$ et $b$ sont deux nombres réels. $A, B, C, D, E$ et $F$ des points du plan.

Dans le plan muni d’un repère, on
considère les vecteurs suivants : $\vec{AB}\left(^{a+3}_{7}\right ) ; \vec{CD}\left(^{ 7}_{5−b}\right) ; \vec{EF}\left (^{6−2a}_{11}\right )$

a) Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ soient égaux.

b) Déterminer le réel $a$ pour que les vecteurs \vec{AB}$ et $\vec{EF}$ soient colinéaires.

Exercice N°4

1. Place dans un repère orthonormal $(O, I, J)$ les points $:A(2; −1) ; B(−3; 2); C(0; 7)$.

2. Démontre les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ sont orthogonaux.

3. Calcule les distances $AB$ et$ BC$.

4. Calcule les coordonnées du point $E$ tel que $ABEC$ soit un parallélogramme.

5. Détermine les coordonnées du point F milieu du segment $[AB]$.

Exercice N°5

Dans un repère $(O ; \vec{i} ;\vec{j} )$, on considère les points $A(2 ; 5) ; B(−2 ; −2) , D(7 ; 1)$

1 – Placer les points $A ; B$ et $D$ dans le repère $(O ; \vec{i} ;\vec{j} )$.

2 – a) Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB} ; \vec{AD}$ et $\vec{BD}$.

b) Exprimer ces vecteurs sous forme de combinaisons linéaires de $\vec{i}$ et $\vec{j}$ .

3 – a) Construire le point $C$ image de $B$ par la translation de vecteur $AD$. 

Calculer les coordonnées de $C$.

b) En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.

4 – a) Calculer les coordonnées de $M$ milieu de $[AB]$ ; placer $M$.

b) Construire le point $E$ symétrique de$D$ par rapport au point $M$ ; calculer les coordonnées de $E$.

c) Quelle est la nature du quadrilatère $ADBE$ ? 

d) Démontrer que $B$ est le milieu de $[EC]$. 

Faire la figure.

Exercice N°6

Dans le plan muni d’un repère $(O, I, J)$ on considère $(D_{1}) :y = −x + 1$ et $(D_{2}) : x − y + 3 = 0$.

1°) Justifie par le calcul que le point $J (1 ; 0)$ appartient à la droite $(D_{1})$.

2°) On appelle $E$, le point d’intersection des droites $(D_{1})$ et $(D_{2})$. 

Justifie par le calcul que $E$ a pour couple de coordonnées $(−1; 2)$.

3°) Détermine une équation de la droite $(D_{3})$ et passant par $J$ et parallèle à (D_{2})$.

4°) Quelle est la position relative des droites $(D_{3})$ et $(D_{1})$ ? 

Justifie ta réponse.

Exercice N°7

Dans le plan muni d’un repère $(O,I , J)$ on donne les points$ A(1 ; 0) ; F(5 ; 4) ; E(3 ; −2)$ et $B(x ; 2)$

1) Détermine x pour que le triangle $ABF$ soit rectangle en $A$ puis place les points $A, B, F$ et $E$ dans le repère

2) Calcule les coordonnées du point $C$ image de $E$ par la translation de vecteur $\vec{AF}$ .

3) Justifie que le point $A$ est le milieu de $[BE]$ sachant que $x_{B} = −1$.

4) Montre que le quadrilatère $AFCE$ est un rectangle.

5) Détermine une équation de la droite $(D)$ passant par $B$ et parallèle à $(AF)$.

Exercice N°8

1. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(0, I, J). m$ est un nombre réel et $(D) :mx + (m + 1)y + m – 1 = 0$.

a) Pour quelle valeur de $m$ la droite $(D)$ est- elle parallèle à $(OI)$ ?

Dans ce cas, donne une équation de la droite $(D)$ ?

b) Pour quelle valeur de $m$, la droite $(D)$ passe par l’origine $O$ du repère ? 

Dans ce cas donne l’équation réduite de la droite $(D)$ ?

2. Une droite $(D’)$ coupe $(OI)$ au point $A$ d’abscisse $1$ et $(OJ)$ au point $B$ d’ordonnée $2$.

a) Donne une équation réduite de la droite $(D’)$.

b) Démontre qu’un point $E$ de$ (D’)$ d’abscisse $3$ a pour ordonnée $−4$.

c) Détermine l’équation d’une droite $(L)$ perpendiculaire à $(D’)$ en passant par $E$.

Exercice N°9

1. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

a. Place les points $M (−4 ; 1) ; C (2 ; 4) ; K (3 ; 0) ; H (1 ; −4)$ et $F(3 ;4)$

b. Détermine les coordonnées du vecteur $\vec{HK}$ 
.
c. Détermine une équation cartésienne de la droite $(MC)$.

2. On suppose maintenant que l’équation réduite de la droite $(MC)$ est : $y =12x + 3$

a. Détermine l’équation réduite de la droite $(D)$ passant par $J$ et parallèle à $(MC)$.

b. Détermine les coordonnées du point S intersection des droites $(D)$ et $(OC)$.

3. Détermine les coordonnées du point $E$ du plan pour que $MFKE$ soit un parallélogramme.

4. Montre que $MOH$ est un triangle isocèle.

Exercice N°10

On munit le plan d’un repère orthonormal.

1°) Construire les droites $(D)$ et $(D’)$ d’équations respectives : $−x + y +1 = 0 $et $x + y +3 = 0$

2°) Montrer que les droites $(D)$ et $(D’)$ sont perpendiculaires puis calculer les coordonnées de leur point d’intersection $A$.

3°) Calculer l’ordonnée du point B de $(D)$ d’abscisse $+4$ ainsi que l’ordonnée du point $C$ de $(D’)$ d’abscisse $−4$.

4°) Déterminer le rayon $R$ et le centre I du cercle $(T )$ passant par les points $A, B$ et $C$. 

Tracer le cercle $(T) $.

5°) Déterminer les coordonnées du point $H$ tel que $\vec{BH} = \vec{AC}$ .

a- Quelle est la nature du quadrilatère $ABHC$ ?

b- Montrer que H est élément de $(T )$

Exercice N°11

Dans un plan muni d’un repère orthonormal $(O ; \vec{OI}; \vec{OJ})$, place les points$ A(−2; −3) ; B(2; −1)$ et $C(−\dfrac{7}{2} ; 0)$.

1) Détermine l’abscisse du point $H(x ; 0)$, sachant que $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ soient colinéaires.

2) Montre que les vecteurs$\vec{ AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux. 

En déduire la nature du triangle $ABC$.

3) Soit $D$ un point de $(AC)$, tel que : $\vec{DA} − 4\vec{DC} =\vec{O}$

a) Justifie que $\vec{AD}=\dfrac{4}{3}\vec{AC}$

b) Détermine par calcul les coordonnées de $D$.

4) Détermine une équation réduite de la droite $(AB)$.

5) Détermine par calcul les coordonnées du point $M$ intersection des droites $(AB)$ et $(OJ)$.

Exercice N°12

Le plan est muni d’un repère orthonormal .

On considère les points $A(−1 ; 5);B(−3 ; 1)$; et $C(−5 ; 2)$

1°) a- Calculer les distances $AB ; BC$ et$ AC$.

b- Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle.

c- Calculer tan B\overbrace{A}C$ .

2°) Soit $(H)$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$.

a- Calculer les coordonnées du centre $K$ de ce cercle ainsi que son rayon $R$.

b- Calculer $y$ pour que le point $M$ de coordonnées$ (− \dfrac{1}{2} ; y ) $appartienne au cercle $( H )$ .

3°) Soit $N$ le symétrique du point$ M$ par rapport au point $K$.

a- Démontrer que la droite $(BK)$ est la médiatrice du segment $[MN]$.

Donner l’équation réduite de la droite $(BK)$.