Exercice N°1

Pour chacune des énoncés suivants, choisis la bonne réponse en indiquant sur ta copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
N°& \text{Enoncés} &\text{Réponse A}& \text{Réponse B}& \text{Réponse C}\\
\hline
1& \text{Parmi les écritures suivantes, une seule}&f(x) = x^{2} + 1& g(x) = (x + 3)^{2}& h(x) = m\sqrt{2} − 4\\&\text{représente une application affine.}
&&&\\&\text{Laquelle} ?&&&\\
\hline
2&\text{Le coefficient directeur l’application affine}&a =\dfrac{5}{2} &a = − \dfrac{5}{2} &a = − \dfrac{2}{5}\\&f \text{d’expression littérale }: f(x) = ax + 2 \text{tel}&&&\\&\text{que} f(2) = −3 est :&&&\\
\hline
3&\text{ Le coefficient de l’application affine}&2& − \dfrac{1}{4}x &−\dfrac{1}{4}\\&\text{f définie par} f(x) = 2 − \dfrac{1}{4} x \text{est…}&&&\\
\hline
4& \text{L’application affine} f \text{telle que }f(2) = 5&f(x) = 2x + 1 &f(x) = 2x − 1 &f(x) = −2x + 1\\&et f(−1) = −1 \text{est}.&&&\\
\hline
5& \text{Soit} g(x) = |x − 2|. Si x ∈[2 ; + \infty [\text{ alors}& g(x) = −x− 2 &g(x) = x − 2 &g(x) = −x + 2\\
\hline
6& \text{Quelle est l’expression de l’application}& − \dfrac{3}{2} x + \dfrac{7}{2} &− \dfrac{7}{2} x + \dfrac{3}{2}&\dfrac{3}{2} x − \dfrac{7}{2}\\&\text{affine} h \text{telle} h(1) = −2 \text{et} h(3) = 1?&&&\\
\hline
\end{array}$$

Exercice N°2

Parmi les applications suivantes, reconnaitre celles qui définissent des applications affines en donnant son coefficient et le terme constant.

$f(x) = 3x − 1; g(x) = \dfrac{1}{2}; h(x) = \dfrac{x + 1}{x} ; i(x) = 5; j(x) = 5x^{2} + 1 ; k(x) = 2x + 7 − \sqrt{3}x; l(x) = 2(1−5x) ;m(x) =(1−\sqrt{3})x + 3(x −2)$.

Exercice N°3

1) Déterminer l’application affine $f$ qui a pour coefficient $−3$ et tel que $f(1) = 0$

2) Déterminer l’application affine $g$ qui a pour terme constant $−2$ et tel que $f(2) = −3$

3) Déterminer l’application affine $h$ tel que $h(− 3) = 3$ et $h(−2) = 1$

4) Détermine l’application affine $I$ tel que $I(2) = 5$ et $I(−1) = 2$.

5) Détermine l’application affine $g(x)$ qui correspond à la représentation graphique ci- dessous.

6) Représente graphiquement l'application affine définie par :

a) Si $x ≤−1$ alors $f(x) = x + 3$

b) Si $−1 < x ≤ 1$ alors $f(x) = 2$

c) Si $1 < x$ alors $f(x) = −2x + 4$

Exercice N°4

Soit l’application f définie dans $IR$ comme suit : $f(x)=−2x + 3$

1. Donner la nature de $f$ et le sens de variation.

2. Calcule l’image par $f$ de chacun des nombres suivants : $−3 ; \dfrac{1}{2} ; 9 ; 0$.

3. Quels sont les antécédents des réels : $−2 ;−\dfrac{4}{3} ; 0 ; \sqrt{3}$ .

4. Tracer $(D)$ représentation graphique de $f$ par rapport à $(O, I, J)$ orthonormal

5. Trouve graphiquement l’image de $−1$ par $f$.

6. Trouver graphiquement l’antécédent de $−1$ par $f$.

7. Vérifier les résultats obtenus par le calcul.

Exercice N°5 BFEM 2006

Soit l’application f définie par : $f(x) = |x + 3|$.

a) Calculer : $f(0)$ et $f (−3)$.

b) Montrer que $f$ est une application affine par intervalle.

c) Représenter graphiquement $f$ dans un repère orthonormé $(O, I, J)$.

d) Resoudre dans $IR$ l’équation $f(x) = 1$.

Exercice N°6

$f$ est une application définie dans $IR$ telle que : $f(x) = |3x − 6| + 2$

1. Ecris $f(x)$ sous la forme $f(x) = ax + b$ , suivants des intervalles bien définis de $IR$.

2. Donner la nature de f dans chacun de ces intervalles.

3. Donner le sens de variation de f dans chaque intervalle.

Représenter graphiquement f dans chaque intervalle par rapport à $(O, I, J)$ orthonormal.

4. Calculer $f(−3)$ et $f(\sqrt{2})$.

5. Calculer le réel ayant pour image $+3$ et le réel ayant pour antécédent $\sqrt{2}$ si cela est possible par $f$.

Exercice N°7 BFEM 1992

On considère l’expression h définie par : $h(x) = (2x − \sqrt{3})^{2}
+ 2(2x − \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})^{2}$

1. Montrer que h est un carré d’une somme.

2. Résoudre dans $IR$ l’équation :$ \sqrt{h(x)} − 7 = 0$.

3. Soit la fonction telle que $K(x) = \sqrt{h(x)} − 1$.

a) Montrer que $k$ est une application affine par intervalle.

b) Représenter graphiquement $k$ dans un repère orthonormé $(O, I, J)$.

Exercice N°8 CONCOURS LSED 2016

1. On considère l’application $f$ de $IR$ définie par :$f(x) = |2x − 5|$.

a) Exprime $f(x)$ sans le symbole de la valeur absolue.

b) Trouve par le calcul l’image du réel $−1$ et des antécédents du réel $4$.

2. On donne l’application $g$ définie par : $g(x) = f(x) + 5$ si $x ≥ \dfrac{5}{2}$ et $g(x) = −f(x) + 5$ si $x ≤ \dfrac{5}{2}$.

a. Montre que, pour tout réel $x,g(x) = 2x$.

b. Quelle est alors la nature de $g$ ?

c. Calcule les images par de $2 − \sqrt{3}$ et de $3\sqrt{3}$.

d. Déduis-en $g(2 + \sqrt{3})$.

Exercice N°9

On donne l’expression suivante : $f(x) = x + 1 +\sqrt{(2x − 3)^{2}}$

1. Calcule $f (0)$ et $f (−1)$.

2. Montre que $f$ est une application affine par intervalles.

3. Représente graphiquement l’application $f$ dans un repère orthonormé.

4. Résous dans $IR$ chacune des équations suivantes : $f(x) = x ; f(x) = x+2$.

Exercice N°10 BFEM 2000

$U$ et $V$ sont deux applications définies dans $IR$ telles que :$U(x) = |2 + x|$ et $V(x) = |1 − 2x|$

1) Montrer que $U$ et $V$ sont deux applications affines par intervalle.

2) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $U(x) = (Vx)$

3) Construis les représentations graphiques $U(x)$ et $(Vx)$ dans l’intervalle $[−2; 1/2]$, dans un repère orthonormal.

Exercice N°11

Dans une piscine olympique, en plus de $100f$ pour l’entrée, on doit payer $1500f$ par l’heure de natation.

1. Traduis cette situation par une application $f$ pour $x$ heures de natation ?

2. Tracer la représentation graphique de $f$ par rapport à$ (O, I, J)$ orthonormal.

3. Fatou prévoit d’aller faire $3$heures de natation. 

Retrouve graphiquement le budget minimum qu’elle doit posséder. 

Vérifier par le calcul.

Exercice N°12

Un libraire offre deux possibilités à ses clients :

$\bullet 1^{ère}$ possibilité : acheter une carte à $5000f$ et payer $4000f$ par livre.

$\bullet 2^{ème}$ possibilité : payer 4500f par livre.

On désigne par $x$ le nombre de livres achetés.

1. a. Exprimer en fonction de $x$ le prix payé lorsque l’on choisit :

$\bullet$ La première possibilité.

$\bullet$La deuxième possibilité.

1. b. Donner la nature de chacune des applications qui, au nombre de livres achetés, associe le prix $f(x)$ à payer.

2. Nafi achète $5$ livres.

Quelle est la possibilité la plus avantageuse pour elle ?

3. A partir de quel nombre de livres, la $2^{ème}$ possibilité est la plus avantageuse ?

Exercice N°13 BFEM 2005

Un gérant de cybercafé propose à ses clients deux types d’options :
Option 1 : $150 F$ l’heure de connexion internet avec un abonnement mensuel de $3000 F$ ; Option $2 : 350 F$ l’heure de connexion sans abonnement.

1. Une personne a effectué une connexion mensuelle de $x$ heures. 

On note $P_{1}(x)$ et $P_{2}(x)$ les prix en francs correspondant respectivement à l’option $1$ et $2$.

Exprime $P_{1}(x)$ et $P_{2}(x)$ en fonction de $x$.

2. Dans un repère orthogonal $(O, I, J)$ construis les représentations graphiques de $P_{1}$ et P_{2}$.

On prendra :

$1cm$ pour  $1000 F$ sur l'axe des ordonnées $1cm$ pour  $2$ heures sur l'axe des des abscisses

3. a. Détermine graphiquement sur quel intervalle l’option$1$ est plus avantageuse que l’option $2$.

3. b. Retrouve le résultat par un calcul.

4. Au bout de combien de temps de connexion deux clients d’options différentes payeront-ils le même prix ?

5. Quelle est l’option la plus avantageuse pour $5 h$ de connexion ?