Exercice 1 : 

Pour chacune des questions dans le tableau ci- dessous, trois réponses $A, B$ et $C$ sont proposées dont une seule est correcte. Pour répondre, tu porteras sur ta copie, le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
N°&\text{ Questions}& Réponses A& B& C\\
\hline
1&\text{ L’expression }\sqrt{\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16}}\text{ est égale à}& \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}&\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{12}\\
\hline
2&\text{ Quelle est la valeur du cosinus d’un angle de }30° ? &\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{3}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
\hline
3 &\text{Soit LOB un triangle, M un point de (LO,) et N un}&&&\\
&\text{point de (LB). Si (MN) est parallèle à (OB) alors}&\dfrac{LO}{LM} = \dfrac{LN}{LB}&\dfrac{LM}{LO} = \dfrac{LN}{LB}&\dfrac{MM}{LO} = \dfrac{LN}{BO}.\\
\hline
4 &\text{L’équation }|\sqrt{3}x − 2| = −2023&\text{ a une}&\text{a deux}&\text{n’a pas de}\\
&&\text{solution}&\text{solutions}&\text{solution}\\
\hline
5 &\text{Quelle est l’ensemble des solutions dans ℝ de}&S = [−4; 4] &S =&
S = ]−4; 4[\\
&\text{l’inéquation} 16−x^{2} > 0?&&\lbrace{−4; 4\rbrace}&\\
\hline
6 &\text{Soient RAS et RIZ deux triangles, si les points R, I et}&(ZI)//(RA) &(ZI)//(SA) &(SA)//(RS)\\
&\text{A sont alignés dans le même ordre que les points R,}&&&\\
&Z \text{et} S \text{et}\dfrac{ RZ}{RS} =\dfrac{ RI}{RA} ,\text{ alors}&&&\\
\hline
\end{array}$$

Exercice 2 : 

2.1. On considère les nombres réels définis par :$ X = \dfrac{\sqrt{5}}{ \sqrt{5} −  \sqrt{3}} −  \dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{5} +  \sqrt{3}}$ et $Y = (3 \sqrt{2} −  \sqrt{3})^{2}+ 6 \sqrt{6}$.

Montre que $X$ et $Y$ sont des nombres entiers naturels. 

2.2. On donne les réels : $a = 2 − \dfrac{3 \sqrt{2}}{2}$ et $b = \dfrac{1}{
3 \sqrt{2} + 4}$. 

Rends rationnel le dénominateur de $b$ puis montre que les nombres $a$ et $b$ sont des opposés. 

2.3. Soit $A =  \sqrt{(1 − 2 \sqrt{2})^{2}}+ ( \sqrt{2} − 2)^{2}−  \sqrt{18}$. 

Montrer que $A = 5 − 5 \sqrt{2}$ puis encadre-le à  $10^{−2}$ prés sachant que : $1,414<  \sqrt{2} < 1,415$. 

Exercice 3 :

3.1. Écris $Z =  \sqrt{121} − 2 \sqrt{112 }+  \sqrt{63} −  \sqrt{81}$ sous forme $p + q \sqrt{c}$ avec ($pϵ ℤ , qϵℤ$ et $c ϵℕ$). 

3.2. On donne $A(x) = 3x − 2$ et $B(x) = 9x^{2} − 12x + 3$.

3.2.1. Calcule $A^{2}$.

3.2.2. Compare $B$ et $A^{2} − 1$ puis déduis-en une factorisation de $B$. 

3.3. On pose $f(x) = 3(x − 1)(3x − 1)$.

Résous dans ℝ l’équation $f(x) = 0$ puis l’inéquation $f(x) ≤ 0$. 

Exercice 4 : 

Soit un triangle $EFG$ tel que $EF=12cm ; EG=5cm$ et $FG=13cm$.

4.1. Fais une figure correcte.

4.2. Justifie que ce triangle est rectangle en $E$.

4.3. Calcule $\cos E\overbrace{F}G$ ; déduis-en la mesure de l’angle EFĜ au degré prés. 

4.4. Place un point $B$ sur $[EF]$ tel que $EB=7cm$ puis tracer la droite passant par $B$ et parallèle à la droite $(FG)$ elle coupe $(EG)$ en $M$.

4.5. Calcule $BM$. 

4.6. On donne $BM = k\times FG$ et$ Aire(EFG)= m×Aire(EBM)$.

Détermine la valeur de k puis la valeur de m.