1er devoir de mathématique du 1er semestre - 1er S1

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et l'inéquation suivantes :

a. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$

b. $3x^{4}-8x^{3}+3x^{2}-8x+3=0$

c. $\sqrt{2x^{2}+5x-7}\geq x-1$

2. Déterminer tous les polynômes non nuls $P(x)$ vérifiant $P\left(x^{4}\right)=\left(x^{4}+1\right)P\left(x^{2}\right)$

Exercice 2

Soit $f$ l'application définie par $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ x\mapsto x+\sqrt{x^{2}+1}$

1. Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\;,f(x)> 0$

(On pourra utiliser $|x|\geq -x)$

2. $f$ est-elle surjective ? justifier

3. Soit l'application $h$ définie de $\mathbb{R}$ dans $]0\ ;\ +\infty[$ par $h(x)=f(x)$

a. Montrer que $h$ est bijective

b. Expliciter $h^{-1}(x)$ pour tout réel $x\in]0\ ;\ +\infty[$

Exercice 3

On considère l'équation $\left(E_{m}\right)\ :\ \left(m^{2}+1\right)x+40=0$

1. Étudier suivant les valeurs de $m$ l'existence et le signe des solutions de $\left(E_{m}\right)$

2. Existe-t-il des valeurs de $m$ pour que $\left(E_{m}\right)$ admette $2$ solutions $x'$ et $x''$ telles que $-x<x'<x"<2$

Problème

Soient $P$ et $Q$ des polynômes. 

On appelle polynôme de ASTOU GNING FALL, le polynôme noté $A(P\ ;\ Q)$ et défini par : $A(A_ ;\ Q)=P(x)+Q(x)-1$

Partie A

1. Dans cette question, on suppose que $P(x)=(x-2)^{2n}$ et $Q(x)=(x-1)^{n}$ ; $n\in\mathbb{N}^{\ast}$

a. Démontrer que $A(P\ ;\ Q)$ est divisible par $(x-2)(x-1)$

Donner la factorisation de $A(P\ ;\ Q)$ pour $n=1$

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de $$A(P\ ;\ Q)$ par $x^{2}-4x+3$

Dans cette question $P$ et $Q$ sont des polynômes quelconque.

Démontrer les égalités suivantes

a. $A(P\ ;\ Q)=A(Q\ ;\ P)$

b. $A(-P\ ;\ -Q)+A(P\ ;\ Q)=-2$

c. $A[A(P\ ;\ Q)\ ;\ A(-P\ ;\ -Q)]$

d. $A\left(P^{2}\ ;\ Q^{2}\right)=A\left[(P+Q)^{2}\ ;\ -2PQ\right]=A\left[(P-Q)^{2}\ ;\ 2PQ\right]$

Partie B : 

On considère l'équation $(E)$ d'inconnue : $(E)\ :\ t^{2}-2Pt-A(P\ ;\ Q)-2=0$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes à variable $x$

1. On suppose que $P(x)=Q(x)=x^{2}$

a. Étudier la position des racines par rapport à $2$

b. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E)$

2. On suppose que $Q(x)=(x-2)P(x)-1$

Démontrer que $(E)$ admet une solution double si et seulement si $P(x)=0$ ou $P(x)=1-x$