Évaluations à épreuve standardisées du premier semestre 1er S1
Exercice 1
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
a. $\sqrt{2x^{2}-3x+7}=3x-3$
b. $\sqrt{2x+1}+\sqrt{5-x}=8$
c. $\sqrt{x^{2}+4x}\geq-x+2$
d; $\left[-x^{2}+x+1\right]\leq x-7$
II. On appelle réciproque de degré $n$ tout polynôme $P(x)$ vérifiant :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} d^{\circ}P&=&n\\ \forall x\in\mathbb{R}^{\ast}\;,P\left(\dfrac{1}{x}\right)&=&\dfrac{P(x)}{x^{n}} \end{array}\right.$
1.a. Montrer que si $\alpha$ est une racine de $P(x)$ alors $\alpha$ est non nul et $\dfrac{1}{a}$ est aussi une racine de $P(x)$
b. Montrer que tout polynôme réciproque de degré n (impair) admet $-1$ pour racine
2. Déterminer le polynôme réciproque de degré 5 admettant pour racines $a_{1}=2$ et $a_{2}=2-\sqrt{3}$ tel que $P(0)=2$
Exercice 2
Soit la fonction $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{+}\\ x\rightarrow \sqrt{\left|1-x^{2}\right|}$
1.a. Justifier que $f$ est une application
b. $f$ est-elle injective ?
c. $f$ est-elle surjective ?
2; Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=[1\ ;\ +\infty[$
a. Justifier que $g(x)=\sqrt{x^{2}-1}$
b. Déterminer l'image directe de $A=\left\lbrace 1\;,2\;,3\right\rbrace$ par $g$
c. Déterminer l'image réciproque de $B=]1\ ;\ 4]$ par $g$
3. Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers $\mathbb{R}_{+}$ et donner l'écriture explicite de $g^{-1}(x)$ avec $g^{-1}$
La bijection réciproque de $g$
Exercice 3
On considère dans le plan $P$ un triangle équilatéral $ABC$ de côté $4$
1. Construire le point $D$ barycentre du système $\left\lbrace (A\ ;\ 2)\;,(B\ ;\ -2)\;,(C\;,-1)\right\rbrace$
2. Montrer que $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=8$
3. Montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
4. Montrer que le triangle $BCD$ est rectangle en $B$
5. Calculer la distance $AD^{2}$
6. Pour tout point $M$ du plan, on pose $f(M)=2MA^{2}-2MB^{2}-MC^{2}$ et on désigne et on désigne par $(F)$ l'ensemble des points du plan tels que $f(M)=0$
a. Vérifier que C appartient à $(F)$.
b. Exprimer $f(M)$ en fonction de la distance $MD$
c. Déterminer et construire $(F)$
7. Pour tout point $M$ du plan on pose $g(M)=2\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{DC}+16$
Déterminer l'ensemble $(G)$ des points $M$ du plan tels que $g(M)=16$
On considère l'équation : $\sin 3x=-\sin 2x (E)$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E)$ puis dans $]-\pi\;,\pi[$
1. Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique
2.a. Montre que :
$\sin 3x=\left(4\cos^{2}x-1\right)\times\sin x$
b. En déduire que l'équation $(E)$ est équivalente à $\sin x\times \left(4\cos^{2}x+2\cos x-1\right)=0$
c. Parmi les solutions trouvées au $1.$ , lesquelles sont aussi solutions de :
$4\cos^{2} x+2\cos x-1=0$ ?
3.a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^{2}+2X-1=0$
b. En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{2\pi}{5}$ et $\cos\dfrac{4\pi}{5}$