Devoir n°1 du premier semestre - 1er S1

Exercice 1 : Outils mathématique pour la physique 

Le montage en dérivation (parallèle) ci-dessous à une résistance$$R_{eq}=\dfrac{m+7}{2(2m-1)}\Omega \left(m\neq
\dfrac{1}{2}\right)$$

Rappel

Comment calculer la résistance dans un circuit en parallèle ?

La formule pour calculer la résistance équivalente à $n$ résistance placées en parallèle est : $R_{eq}=1\left\lbrace\left(1\mathbb{R}_{1}\right)\left(1\mathbb{R}_{2}\right)+\left(1\mathbb{R}_{3}\right)\ldots+\left(1\mathbb{R}_{2}\right)\right\rbrace$

Voici un exemple en prenant $R_{1}=20\Omega$, $R_{2}=30\Omega$ et $R_{3}=30\Omega$

On pose $S=R_{1}+R_{2}$ et $P=R_{1}\times R_{2}$

1. Montrer que $R_{eq}=\dfrac{P}{s}$ pour le montage en dérivation

2. En déduire l'existence du système $(S)\left\lbrace\begin{array}{rcl} R_{1}+R_{2}&=&2\\ \dfrac{R_{1}\times R_{2}}{R_{1}+R_{2}}&=&\dfrac{m+7}{2(2m-1)}\\ \end{array}\right.$

3. Montrer que système $(S)$ est équivalent à l'équation

$(E)\ :\ x^{2}-2x+\dfrac{m+7}{(2m+1)}=0$

a. Déduire de $(E)$ les valeurs possibles des résistances $R_{1}$ et $R_{2}$

b. Discuter suivant les valeurs de les signes éventuels des résistances $R_{1}$ et $R_{2}$

4. Déterminer suivant les valeurs du paramètre les positions possibles de $2$ par
rapport aux valeurs de $R_{1}$ et de $R_{2}$  

5. Déterminer suivant les valeurs du paramètre $m$ :

a. La valeur qui rend la résistance maximale.

b. La valeur qui rend la résistance minimale.

Exercice 2 : Polynômes

1. On considère l'équation $X^{3}-X+1=0$ et on note $a$, $b$ et $c$ ses racines.

a. Calculer $a+b+c$ ; $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ; $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ et $a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}$

b. A partir de la division euclidienne de $X^{7}$ par $X^{3}-X+1$, calculer $a^{7}+b^{7}+c^{7}$

2. Résoudre $\mathbb{R}$ l'équation : $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}+\ldots+\dfrac{1}{x^{8}}=0$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}\ :\ \left(x^{2}+x-1\right)^{2}-6\left(x^{2}+x-2\right)=1$

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $x^{4}-2\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}+\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}\geq 0$

Exercice 3 : Équations irrationnelles/dénombrement

1. Résoudre l'équation suivante

$\sqrt{2E(x)-1}=E(x)$

2. Démontre que $C_{n}^{p}=C_{n}^{q}\Leftrightarrow p=q$ ou $p+q=n$

3. En déduire la résolution de l'équation $C_{3x+2}^{\sqrt{9x^{2}-6x+1}}=C_{3x+2}^{\sqrt{x^{2}+2x+1}}$