Devoir n°2 de mathématique premier semestre 1er S1

Exercice 1

1. Soit $h$ la fonction définie par$$h\ :\ \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\\ x\mapsto h(x)=\dfrac{5+4x^{2}}{x^{2}+1}$$

a. Montrer que $h$ est une application

b. $h$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.

c. $h$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.

2. Soit$$g\ :\ \mathbb{R}\left\lbrace 1\right\rbrace \mapsto\mathbb{R}\left\lbrace 2\right\rbrace\\
x\mapsto g(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$$ une application 

a. Déterminer l'antécédent de $\dfrac{4}{5}$ par $g$

b. Démontrer que $g$ est une bijection

c. Déterminer sa bijection réciproque $g^{-1}$

d. En déduire l'antécédent de $\dfrac{1}{3}$ par $g$

Exercice 2

Soit $Q$ le polynôme définie par :$$Q(x)=x^{2}+(2m+1)x+m^{2}+1$$

1. Résoudre l'équation $Q(x)=0$ suivant les valeurs du paramètre $m$

2. Déterminer la valeur du nombre réel $m$ pour que $Q$ ait deux racines $\alpha$ et $\beta$ telles que 

a. $\alpha^{2}+\beta^{2}=29$ ; 

b. puis calculer $\alpha$ et $\beta$

Exercice 3

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système suivant :$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}x+3y-4&=&1\\
x+y+14z&=&3\\2x+5y+z&=&3\end{array}\right.$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et les inéquations suivantes :

a. $\sqrt{3\left(x^{2}-1\right)}< 2x-1$

b. $\sqrt{x-2}> -1$

c. $\sqrt{x^{2}-9}=-x-9$

Exercice 4

1. Résoudre suivant les valeurs du réel $m$, l'inéquation$$\left(m^{2}-3m\right)x^{2}-2(m+2)x+1\leq 0$$

2. Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ pour que $p(x)=\left(m^{2}+3m\right)x^{2}-2(m+2)x+1$
admet deux racines $x'$ et $x"$ vérifiant : $x'<1<x"$