Contrôle continu n° 2 du premier semestre - 1er S1
Exercice 1
Déterminer les domaine de définitions des fonctions définies ci-dessous :
$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{xE(x)}$
$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}&\text{ si }& &<&0\\ x+\sqrt{2x^{2}+x}&\text{ si }x&\geq& 0 \end{array}\right.$
Exercice 2
Soient $a$ et $b$ deux réels et $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ vérifiant la propriété $(P)$ suivante :
$(P)$ : Pour tous réels $a$ et $b$ : $(a-b)\times f(a+b)-(a+b)\times f(a-b)=4ab\left(a^{2}-b^{2}\right)$
1. Les fonctions $f_{1}\ :\ x\mapsto x$,
$f_{2}\mapsto x^{2}$ et
$f_{3}\ :\ x\mapsto x^{3}$ vérifient-elle la propriétés $P$
2. Montrer que si une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ vérifie la propriété $(P)$ alors $f$ est impaire
3. En prenant $a=\dfrac{3}{2}$ et $b=\dfrac{1}{2}$, montrer si $f$ vérifie $(P)$ alors $f(2)-2f(1)=6$
Trouver une relation entre $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$ et $f(2)$
4. Trouver une relation entre $f(x)$ et $f(1)$ pour tout $x$ réel quelconque.
En déduire que les fonctions vérifiant $P$ sont de la forme $f(x)=x^{3}+kx$ avec $k\in\mathbb{R}$
Exercice 3
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies par $f(x)=x^{2}-2x$ et $g(x)=x+2-2\sqrt{x+1}$
1. (a) Étudier les variations de $f$ sur $]-\infty\ ;\ 1]$ et sur $[1\ ;\ +\infty[$
b. Donner le tableau de variation de $f$
2. (a) Déterminer $D_{g}$ l'ensemble de définition de la fonction $g$
b. Montrer que $\left(\forall x\in D_{g}\right)$ ; $g(x)\geq 0$
c. Déterminer l'ensemble des antécédents de $1$ par $g$
d. Montrer que $g$ est décroissante sur $[-1\ ;\ 0]$ et croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$
3. On considère la fonction $h$ définie par : $h=g\circ f$
a. Déterminer $D_{h}$ puis exprimer $h(x)$ en fonction de $x$
b. Déterminer les variations de la fonction $h$ en utilisant les variations de $f$ et $g$ sur les intervalles :
$[-1\ ;\ 0]$, $[0\ ;\ 1]$, $[1\ ;\ 2]$ et $[2\ ;\ +\infty[$
c. Montrer que : $h(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-4x+4\ ;\ &\text{ si }\geq 1\\
x^{2}\ ;\ &\text{ si }x\leq 1 \end{array}\right.$
4. On considère la fonction $k$ définie par : $k(x)=x-E(x)+1-2\sqrt{x-E(x)}$
a. Déterminer $D_{k}$ puis montrer que $k$ est périodique de période $\tau=1$
b. Montrer que $\left(\forall x\in[-1\ ;\ 0[\right)\ ;\ k(x)=g(x)$
Exercice 4
Soit $ABC$ est un triangle.
La bissectrice de l'angle $\overbrace{BAC}$ coupe le segment $[BC]$ en $I$ la parallèle à la droite $(AI)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $D$
1.(a) Montrer que le triangle $CAD$ est isocèle en $A$
b. En déduire que $\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{AB}{AC}$
2. On note $AB=c$ ; $BC=a$ et $CA=b$
Démontrer que le point $I$ est barycentre du système pondéré $(B\ ;\ b)$
3. La bissectrice de l'angle $\overbrace{ABC}$ coupe $[AC]$ en $J$ et la bissectrice de l'angle $\overbrace{ACB}$ coupe $[AB]$ en $K$.
On note $O$ le barycentre de $(A\ ;\ a)$ $(B\ ;\ b)$, $(C\ ;\ c)$
a. Montrer que $O$ est le barycentre des points pondérés $(A\ ;\ )$ et $(I\ ;\ b+c)$
b. En déduire que $O$ est un point de $(AI)$, puis que $O$ est le point de concours des bissectrices de $ABC$
Exercice 5
Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que $AB+5$ et $BC=6$
Soient $I$, $J$ et $K$ les points définis par : $4\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{O}$, $4\overrightarrow{BK}+3\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{O}$
$\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{JC}$
1.a. Faire une figure et placer les points $I$, $J$ et $K$
b. Démontrer que les droites $(AK)$, $(BJ)$ et $(CI)$ sont concourantes en un point $G$
2. Atout point $M$ du plan on considère $f(M)=MA^{2}+3MC^{2}$
(a) Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$
b. Calculer $GA^{2}$, $GB^{2}$ et $GC^{2}$
c. En déduire que $f(G)=\dfrac{408}{7}$
d. Montrer que pour tout point $M$ du plan $f(M)=7MG^{2}+f(G)$
e. Déterminer puis construire l'ensemble $(\tau)$ des points $M$ du plan vérifiant $f(M)=\dfrac{849}{7}$