Exercice 0.1 : 

On considère l’application $$\begin{array}{rcl}
f : \mathbb{R} &→&\mathbb{R}\\
. x &→ &x^{2} − 4x + 5\end{array}$$

1. a. Montrer que $∀x ∈ \mathbb{R} : f(2 − x) = f(2 + x)$.

b. L’application $f$ est-elle injective? 

Justifier. 

2. a. Montrer que $∀x ∈ \mathbb{R} : f(x) ≥ 1$. 

b. L’application $f$ est-elle surjective?

 justifier.

3. Résoudre dans $\mathbb{R} :\sqrt{f(x)} = x − m$ et
$\sqrt{f(x)} ≥ 2x − 1$ avec $m$ un paramètre réel. 

4. Soit l’application $$\begin{array}{rcl}
g : [2;+∞[ &→& [1;+∞[\\
 x& →& g(x) = f(x)\end{array}$$

Montrer que g est bijective et expliciter sa bijection réciproque $g^{−1}$.

Exercice 0.2 :

Soit l’expression $f$ définie pour tout $x ∈ R$ par $f(x) = 1 +\cos(2x) + \sqrt{3} \sin(2x)$.

1. Calculer $f\left( \dfrac{π}{12}\right )$.

2. Montrer que : $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 2 \sin\left(x + \dfrac{π}{6}\right)$. 

3. Résoudre dans $R$ puis dans $] − π; π]$ l’équation $\cos x + \sqrt{3} \sin x + \sqrt{3} = 0$. 

4. Montrer que $f(x) = 4 \cos x × \sin\left(x +\dfrac{π}{6}\right)$ puis calculer $\cos \dfrac{π}{12}$ .

5. Soit $g$ l’expression définie pour tout $x ∈\left]0; \dfrac{π}{2}\right[$ par$ g(x) = \dfrac{1−\cos(2x)}{\sin(2x)}$ .

a. Montrer que $g(x) =\tan x$.

b. Calculer $\tan \dfrac{π}{12}$ et en déduire $\sin \dfrac{π}{12}$ . 

c. Résoudre dans $\left]0; \dfrac{π}{2}\right[$ l’inéquation $g(x) ≤√3$. 

Exercice 0.3 : 

Partie A

On donne un triangle $ABC$ de sens direct tel que : $(\vec{
BC},\vec{BA}) = \dfrac{5π}{21} + 2kπ$ et $(\vec{CA},\vec{CB}) = \dfrac{π}{3}+ 2kπ$.

Soit le triangle $ABE$ isocèle en $B$ tel que : $(\vec{BA},\vec{BE}) = \dfrac{3π}{7} + 2kπ$.

Soit le triangle $ACD$ rectangle en $C$ de sens direct et $(\vec{DC},\vec{DA}) = −\dfrac{3π}{14} + 2kπ ; k ∈ Z$.

1. Montrer que $(\vec{AE},\vec{AB}) = \dfrac{2π}{7} + 2kπ$. 

2. Calculer $(\vec{AB},\vec{AC})$ et $(\vec{AC},\vec{AD})$ puis dédire que les points $E;A$ et $D$ sont alignés. 

École Scientifique Internationale d’Excellence - E1SIEX

Partie B

Soit un triangle $ABC , H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC) , P$ et $Q$ sont les projetés orthogonaux
de $H$ respectivement sur $(AB)$ et $(AC)$.

1. Montrer que l’angle $(\vec{HA},\vec{HQ}) = (\vec{CB},\vec{CQ})[π]$ et $(\vec{HA},\vec{HQ}) = (\vec{PA},\vec{PQ})[π]$.

2. En déduire que $B,C, P$ et $Q$ sont cocycliques. 

Partie C

Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan orienté. 

Déterminer et construire l’ensemble $(F)$ des
points $M$ du plan tels que : $(\vec{MA},\vec{MB}) ≡ \dfrac{π}{3}[2π]$.

Exercice 0.4 :

$ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $Ab = a$ et $AC = 2a$ avec $a ∈ R^{∗}_{+}$. 

$I$ désigne le milieu de $[AC] , J$ milieu de $[AI]$ et $G$ barycentre des points pondérés $(A; 3), (B;−2), (C; 1)$.
1. Démontrer que les points *B,G$ et $J$ sont alignés.

2. Quelle est la nature du quadrilatère $ABIG$.

3. Montrer que $GA = GC = a\sqrt{2}$ et $GB = a\sqrt{5}$.

4. A tout point $M$ du plan, on associe le réel $f(M) = 3MA^{2} − 2MB^{2} +MC^{2}$

a. Exprimer $f(M)$ en fonction de $MG$ et $a$.

b. Déterminer et construire l’ensemble $(Γ)$ des points $M$ du plan tels que $f(M) = 2a^{2}$.

5. A tout point $M$ du plan on associe $h(M) = MA^{2} −MC^{2}$.

a. Démontrer qu’il existe un vecteur $\vec{u}$ non nul tel que $h(M) = \vec{IM}.\vec{u}$ . 

b. On désigne par $(Δ)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que $h(M) = −2a^{2}$.

- Vérifier que le point $J$ appartient à $(Δ)$.

- Déterminer et construire $(Δ)$.

6. Déterminer l’ensemble $(Ψ)$ des points $M$ du plan tels que : $∥\vec{MA} +\vec{MC}∥ = 2∥\vec{MA} +\vec{MI}∥$.