Exercice 1 

Soit $p(x)= ax^{2}+ bx^{3}+cx^{3}+bx+ a$ avec $a b$ et $c$ trois réels non nuls.

1) Montrer que $0$ n’est pas racine de . $P(x)$. 

2) Montrer que si $\alpha$ est racine alors $\dfrac{1}{\alpha}$ l’est aussi. 

3) Soit $x\ne 0$ on pose $y= x+\dfrac{1}{x}$.

a) Exprimer $y^{2}$ en fonction de $x$ et en déduire
$\dfrac{p(x)}{x^{2}}$ en fonction de $a,b,c,, y$ et $y^{2}$. 

b) Montrer que résoudre l’équation $p(x)= 0$ revient à résoudre successivement deux équations du second
degré. 

c) Montrer que si $b^{2}<4a(c- 2a)$ alors l’équation $p(x)= 0$ n’admet pas de solution. 

3. Résoudre dans $IR$ l’équation : $x^{4}-x^{3}-10x^{2}-x+1=0$.  

Exercice 2 

1. Résoudre dans $IR$ :
a)$ \sqrt{2^{2} + 7x + 6} >  + 3$  b) $\sqrt{x^{2}-1}-(2- x) \leq 0 $

2. On considère l’équation dans $IR : x^{2} − x + \sqrt{x^{2} − x + 4} = 8 (E_{1})$

a) Montrer que $$(E_{1}) ⟺ \left\lbrace\begin{array}{rcl}
y &=& \sqrt{x^{2} − x + 4}\\
y^{2} &+& y − 12 = 0 (E_{2})
\end{array}\right.$$
b) Résoudre dans $IR$ l’équation $(E_{2})$ puis en déduire les solutions de l’équation $(E_{1})$ . 

Exercice 3

Soit $(O , \vec{i} ,\vec{j})$ un repère orthonormal du plan. On considère les points $A (1;0), B (1+ 3 ; 1)$ et $C (3; 2 3 )$

1. Calculer le produit scalaire $\vec{AB}∙\vec{AC}$ ; en déduire la mesure en degré de l’angle géométrique $\theta = \overbrace{BAC}$.

2. a) Déterminer l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan vérifiant $\vec{MB} ∙\vec{MC} = \vec{AB}∙\vec{AC}$ .

b) Montrer que le point $A \in (E)$ et construire $(E)$.

3. Soit $I$ le milieu de $[AB]$.

a. Ecrire une condition pour que le point $M$ appartienne à la médiatrice $(D)$ de $[AB]$.

b. En déduire l’équation cartésienne de cette droite. 

4. Calculer la distance du point $E (1;3)$ à la droite $(D)$. 

Exercice 4 :

1. Vérifier que : $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$ puis résoudre dans $IR$ l’équation : $2x^{2} + (1 − \sqrt{2})x − \dfrac{\sqrt{2}}{2}= 0$.

2. Déduire de $1$. les solutions dans $IR$ de l’équation : $(E): 2 \cos^{2}x + (1 − \sqrt{2}) \cos x − \dfrac{√2}{2}= 0$. 

3. Représenter sur le cercle trigonométrique, les images des solutions de l’équation $(E)$. 

4. Résoudre dans $IR$ l’inéquation $(I) 2x^{2} + (1 − \sqrt{2})x − \dfrac{\sqrt{2}}{2}> 0$.

5. Déduire les solutions dans $[0; 2\pi]$ de l’inéquation : $2 \cos^{2}x + (1 − \sqrt{2}) \cos x − \dfrac{\sqrt{2}}{2}> 0$.

Exercice 5 : 

1) Résoudre et discuter l’équation
$\dfrac{x^{2} − 3}{2x^{2} + 1}= y$ ; où $y$ est un réel donné . 

2) En déduire deux parties $E$ et $F$ de $IR$ les plus grandes possibles telles que la fonction :

$f: E ⟶ F\\
x ↦\dfrac{x^{2} − 3}{2x^{2} + 1}$, soit une bijection.

3) Déterminer $f^{−1}$
 la bijection réciproque de $f$