Exercice 1 

Soit $p$ et $q$ sont deux fonctions définis pour tout réel $x$ non nul par :

$p(x) = x^{6} − 5x^{5} + 4x^{4} − 3x^{3} + 4x^{2} − 5x + 1$

$q(x) = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}
+ 5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2} +\left(x+\dfrac{1}{x}\right) + 7$

1. Montrer que $\dfrac{q(x)}{p(x)}=\dfrac{1}{x^{3}}$ .

2. Montrer que les équations $p(x) = 0$ et $q(x) = 0$ sont équivalentes et déterminer leurs solutions communes 

3. Résoudre dans $ℝ$, l’équation $\sqrt{2 + x^{2}} × q(x) =\dfrac{2}{x^{2}} p(x)$ 

Exercice 2 

Soit les fonctions numériques $f$ et $g$ définies par : $f(x) = x^{2} − x$ et $g(x) = \sqrt{x}$.

1. Déterminer le sens de variation de chacune des fonctions $f$ et $g$. 

2. En déduire les variations de la fonction $h = f ∘ g$ sur chacun des intervalles $\left[0;\dfrac{1}{4}\right]$ et $\left[\dfrac{1}{4}; +∞\right[$.

3. Montrer que $h$ admet un minimum absolu au point d’abscisse $\dfrac{1}{4}$ . 

4. On considère la fonction numérique $k$ définie par : $k = g ∘ f$

a) Déterminer $D_{k}$, l’ensemble de définition de $k$. 

b) Déterminer le sens de variation de la fonction $k$.

c) Calculer $k(x)$ pour $x \in D_{k}$

d) Comparer les fonctions $k$ et $g$.

Exercice 3 

$ABCD$ un parallélogramme de centre $O$.

Soit $G = bar{(A, 6); (B, −1); (C, 3); (D, −5)} et $G ′ = bar{(B, 2); (C, 3); (D, −2)}$

1. Construire les points $G$ et $G ′$ 

2. Montrer que les segments $[AG ′]$et $[CG]$ ont même milieu. 

3. Soit $I$ milieu de $[GG′ ]$.

Montrer que les points $I, B$ et $D$ sont alignés. 

4. On considère le repère $(A,\vec{AB}; \vec{AD})$

Déterminer les coordonnées de $G$ et $G ′$

5. Vérifier avec les coordonnées que les points $I, B$ et $D$ sont alignés 

6. Soit $(\Omega_{1})$ l’ensemble des points $M$ du plan vérifiant

$||6\vec{MA} − \vec{MB}+ 3\vec{MC}− 5\vec{MD}||=||2\vec{MB} + 3\vec{MC}− 2\vec{MD}||$

Soit $(\Omega_{1})$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que les vecteurs
$6\vec{MA} − \vec{MB}+ 3\vec{MC}− 5\vec{MD}$ et $2\vec{MB} + 3\vec{MC}− 2\vec{MD}$ soient orthogonaux

Déterminer la nature de $(\Omega_{1})$ et $(\Omega_{2})$ puis les construire sur la figure précédente 

Exercice 4 

Soit la fonction $f$ définie sur $[−3 , 4]$ et dont la représentation graphique est donnée

1. Déterminer graphiquement :

a) L’image directe par $f$ de l’intervalle $I =]−2 ; 2[$.

b) L’image réciproque par $f$ de l’ intervalle $J = [2 ; 3]$.

2. Reproduire la courbe et construire, les courbes représentatives $(∁_{1})$ et $(∁_{2})$ respectives des fonctions $f_{1}: x ↦ f(x + 2)$ et $f_{2}: x ↦ f(|x|)$.